Государственное бюджетное образовательное учреждение
Гимназия № 000
Проектная работа по геометрии.
Восемь способов построения касательной к окружности.
9 биолого-химический класс
Научный руководитель : ,
заместитель директора по учебной работе,
преподаватель математики.
Москва 2012
Вступление
Глава 1. ………………………………………………………………4
Вывод (заключение)
Вступление
Высшее проявление духа – это разум.
Высшее проявление разума – это геометрия.
Клетка геометрии – треугольник. Он так же
неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.
Познайте окружность, и вы не только познаете душу
геометрии, но и возвысите душу свою.
Клавдий Птолемей
Задача.
Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности
Глава 1.
Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
Аналогично, АС – касательная к окружности.
Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.
Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.
Построение №2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> АВО = 90°
5. ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.
6. Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)
7. Итак, АВ и АС – касательные
Построение № 3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ОРМ =ОВА= 90° (как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
4. Аналогично, АС – касательная
Построение №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Построение № 6.
Построение:
2. Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.
6. АВ и ВС – искомые касательные.
Доказательство :
1. Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.
2. В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src=">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².
5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны..gif" width="17" height="16">OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.
Построение № 6.
Построение:
1. Прострою окружность (A; |OA|).
2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.
3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w 1Что это за окружность? в точках М и N.
4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.
6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.
Доказательство:
Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.
Глава 3.
Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.
Построение № 7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src=">Построение № 8
Построение:
1. Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.
2. Построю окружность w на диаметре QD
3. Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.
Доказательство:
Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС - искомые касательные.
Обычно в такой задаче дана окружность и точка. Требуется построить касательную к окружности, при этом касательная должна проходить через заданную точку.
Если местонахождение точки не оговаривается, то следует отдельно оговорить три возможных случая расположения точки.
- Если точка лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью, то касательную через нее построить нельзя.
- Если точка лежит на окружности, то касательная строится путем построения перпендикулярной прямой к радиусу, проведенному к данной точке.
- Если точка лежит за пределами круга, ограниченного окружностью, то перед построением касательной ищется точка на окружности, через которую она должна пройти.
Для решения второго случая на прямой, на которой лежит радиус, строится отрезок, равный радиусу и лежащий по другую строну от точки на окружности. Таким образом точка на окружности получается серединой отрезка, равному удвоенному радиусу. Далее строятся две окружности, чьи радиусы равны удвоенному радиусу исходной окружности, с центрами в концах отрезка, равному удвоенному радиусу. Через любую точку пересечения этих окружностей и заданную по условию задачи точку проводится прямая. Она будет срединным перпендикуляром к радиусу исходной окружности, то есть перпендикулярна ей, а значит, являться касательной к окружности.
Решить третий случай, когда точка лежит за пределами круга, ограниченного окружностью, можно так. Следует построить отрезок, соединяющий центр данной окружности и данную точку. Далее найти его середину, построив срединный перпендикуляр (описано в предыдущем абзаце). После этого начертить окружность (или ее часть). Точка пересечения построенной окружности и заданной по условию задачи есть точка, через которую проходит касательная, проходящая также через заданную по условию задачи точку. Через две известные точки проводится прямая-касательная.
Чтобы доказать, что построенная прямая - это касательная, следует рассмотреть угол, образованный радиусом данной по условию задачи окружности и отрезком, соединяющим точку пересечения окружностей с точкой, данной по условию задачи. Этот угол опирается на полуокружность (диаметр построенной окружности), а значит он прямой. То есть радиус перпендикулярен построенной прямой. Следовательно, построенная прямая является касательной.
Секущие, касательные - все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?
Сущность
Термин "касательная к окружности" знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.
История открытия и изучения
Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.
В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь - начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.
Свойства
Радиус, проведенный в точку пересечения, будет Это
основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А - пересечение прямых, B точка касания, C и D - пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.
Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная - единственная.
Построение
Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не
пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.
Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус - чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.
Именно построение касательных к окружности привело к рождению
дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.
Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens - "касательная". Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.
Две окружности
Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень
разным.
Типы и разновидности
Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором - касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет - то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше - пересекаются, а если меньше - то не имеют общих точек.
Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно
построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других - внешние.
Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.
Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.
Решение задач
Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно
довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.
Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.
Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически
аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.
Касательная к окружности или даже двум и больше - не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.
Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.
Примеры из жизни
Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь - все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.
Геометрические построения
Построение касательных к окружностям
Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям.
Пусть из точки А (рис. 1) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О .
Для точного построения касательных необходимо определить точки касания прямых к окружности. Для этого точку А следует соединить сточкой О и разделить отрезок ОА пополам. Из середины этого отрезка - точки С , как из центра, описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку ОА . Точки К 1 и К 2 пересечения окружностей с центром в точке С и с центром в точке О являются точками касания прямых АК 1 и АК 2 к заданной окружности.
Правильность решения поставленной задачи подтверждается тем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности. Углы ОК 1 А и ОК 2 А являются прямыми, поскольку опираются на диаметр АО окружности с центром в точке С .
Рис. 1.
При построении касательных к двум окружностям различают касательные внутренние и внешние . Если центра заданных окружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по разные стороны от касательной, - внутренние.
О 1 и О 2 R 1 и R 2 . Требуется провести внешние касательные к заданным окружностям.
Для точного построения следует определить точки касания прямых и заданных окружностей. Если радиусы окружностей с центрами О 1 и О 2 начать последовательно уменьшать на одно и то же значение, то можно получить ряд концентрических окружностей меньших диаметров. При этом в каждом случае уменьшения радиуса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. После уменьшения обоих радиусов на размер меньшего радиуса R 2 окружность с центром О 2 обратится в точку, а окружность с центром О 1 преобразится в концентрическую окружность радиусом R 3 , равным разности радиусов R 1 и R 2 .
Используя описанный ранее способ, из точки О 2 проведем внешние касательные к окружности радиусом R 3 , соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем радиусом СО 1 дугу, пересечение которой с заданной окружностью определит точки касания прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .
Точка А 1 и А 2 касания искомых прямых с большей окружностью располагается на продолжении прямых О 1 К 1 и О 1 К 2 . Точки В 1 и В 2 касания прямых с меньшей окружностью находятся на перпендикулярах с основанием О 2 соответственно к вспомогательным касательным О 2 К 1 и О 2 К 2 . Располагая точками касания можно провести искомые прямые А 1 В 1 и А 2 В 2 .
Рис. 2.
Пусть заданы две окружности с центрами в точках О 1 и О 2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R 1 и R 2 . Требуется провести внутренние касательные к заданным окружностям.
Для определения точек касания прямых с окружностями используем рассуждения, аналогичные приведенным при решении предыдущей задачи. Если уменьшить радиус R 2 до нуля, то окружность с центром О 2 обратиться в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с искомыми радиус R 1 следует увеличить на размер R 2 и провести окружность радиусом R 3 , равным сумме радиусов R 1 и R 2 .
Из точки О 2 проведем касательные к окружности радиусом R 3 , для чего соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СО 1 . Пересечение дуги с окружностью радиусом R 3 определит положение точек К 1 и К 2 касания вспомогательных прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .
Точка А 1 и А 2 R 1 находится на пересечении этой окружности с отрезком О 1 К 1 и О 1 К 2 . Для определения точек В1 и В2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R 2 следует из точки О2 восставить перпендикуляры к вспомогательным прямым О2К1 и О2К2 до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками касания искомых прямых и заданных окружностей, проведем прямые А1В1 и А2В2 .
Рис. 3.
Прямая, касательная к окружности, составляет с радиусом, проведенным в точку касания, угол 90 . Таким образом, для построения прямой, касающейся окружности в заданной точке, необходимо провести искомую прямую перпендикулярно к радиусу.
Рассмотрим некоторые примеры построения касательных и сопряжений.
П р и м е р 1
Через точку А провести прямую, касательную к окружности с центром О 1
Для решения поставленной задачи выполним следующие построения:
1) соединим прямой линией точки О 1 и А;
2) из точки О 2 – середины отрезка О 1 А − проведем вспомогательную окружность радиусом О 2 А до пересечения с заданной окружностью в точке В.
Последняя является точкой касания, так как угол АВО 1 равен 90 (он опирается
на диаметр АО 1), следовательно, радиус О 1 В является общей нормалью к прямой и дуге окружности в точке В.
П р и м е р 2
Построить общую касательную к двум окружностям с радиусами R 1 и R 2 (рис. 3.4).
Для решения задачи выполним следующие построения:
1) из центра О 1 большой окружности проведем вспомогательную окружность радиусом, равным разности R 1 и R 2 , т. е. R 1 – R 2 ;
2) к этой окружности из точки О 2 проведем касательную О 2 К так, как это выполняли в примере 1;
3) продолжим прямую О 1 К до пересечения с заданной большой окружностью, получим точку В, которая и является точкой касания. Из точки О 2 проведем прямую параллельно О 1 В до пересечения прямой с окружностью в точке А, которая является второй точкой касания касательной АВ.
Рис. 3.3. Построение касатель-
ной прямой к окружности
Рис. 3.4. Построение касательной
к двум окружностям
3.3. Сопряжение двух прямых
П р и м е р 3
Построить сопряжение двух пересекающихся прямых m и n радиусом
сопряжения R c (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Построение сопряжения двух пересекающихся прямых
опустим перпендикуляры на заданные прямые и получим точки сопряжения А и В; из точки О радиусом R с проведем дугу сопряжения между точками А и B.
3.4. Сопряжение прямой с окружностью (внутреннее и внешнее)
П р и м е р 4
Построить внешнее и внутреннее сопряжения окружности радиусом R c
с центром О 1 с прямой t дугой заданного радиуса сопряжения.
Д Рис. 3.6. Построение
внешнего сопряжения
окружности и прямой Рис. 3.7. Построение
внутреннего сопряжения окружности и
прямой
ля
построения внешнего сопряжения
выполним следующие действия
|
1) проведем прямую m параллельно прямой t на расстоянии R с и вспомогательную окружность из центра О 1 радиусом (R 1 + R c); точка пересечения прямой m и вспомогательной окружности – точка О – является центром дуги сопряжения; 2) соединим центры О 1 и О прямой, пересечение ее с заданной окружностью даст первую точку сопряжения − точку А; 3) опустим перпендикуляр из точки О на заданную прямую t и получим вторую точку сопряжения – точку В; 4) из точки О проводим дугу сопряжения АВ радиусом R с. Построение внутреннего со- пряжения окружности с прямой (рис. 3.7) выполняется аналогично построению внешнего сопряжения. Разница заключается в том, что ра- диус вспомогательной окружности равен не сумме радиусов, а их раз- ности (R 1 – R с). |
