Наиболее общим случаем различного рода вероятностных распределений является биномиальное распределение. Воспользуемся его универсальностью для определения наиболее часто встречающихся на практике частных видов распределений.
Биномиальное распределение
Пусть имеется некое событие A . Вероятность появления события A равна p , вероятность непоявления события A равна 1 p , иногда ее обозначают как q . Пусть n число испытаний, m частота появления события A в этих n испытаниях.
Известно, что суммарная вероятность всех возможных комбинаций исходов равна единице, то есть:
1 = p n + n · p n 1 · (1 p ) + C n n 2 · p n 2 · (1 p ) 2 + + C n m · p m · (1 p ) n m + + (1 p ) n .
|
p n вероятность того, что в n n раз; n · p n 1 · (1 p ) вероятность того, что в n n 1) раз и не произойдет 1 раз; C n n 2 · p n 2 · (1 p ) 2 вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет (n 2) раза и не произойдет 2 раза; P m = C n m · p m · (1 p ) n m вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет m раз и не произойдет (n m ) раз; (1 p ) n вероятность того, что в n испытаниях событие A не произойдет ни разу; число сочетаний из n по m . |
Математическое ожидание M биномиального распределения равно:
M = n · p ,
где n число испытаний, p вероятность появления события A .
Среднеквадратичное отклонение σ :
σ = sqrt(n · p · (1 p )) .
Пример 1 . Вычислить вероятность того, что событие, имеющее вероятность p = 0.5 , в n = 10 испытаниях произойдет m = 1 раз. Имеем: C 10 1 = 10 , и далее: P 1 = 10 · 0.5 1 · (1 0.5) 10 1 = 10 · 0.5 10 = 0.0098 . Как видим, вероятность наступления этого события достаточно мала. Объясняется это, во-первых, тем, что абсолютно не ясно, произойдет ли событие или нет, поскольку вероятность равна 0.5 и шансы здесь «50 на 50»; а во-вторых, требуется исчислить то, что событие произойдет именно один раз (не больше и не меньше) из десяти.
Пример 2 . Вычислить вероятность того, что событие, имеющее вероятность p = 0.5 , в n = 10 испытаниях произойдет m = 2 раза. Имеем: C 10 2 = 45 , и далее: P 2 = 45 · 0.5 2 · (1 0.5) 10 2 = 45 · 0.5 10 = 0.044 . Вероятность наступления этого события стала больше!
Пример 3 . Увеличим вероятность наступления самого события. Сделаем его более вероятным. Вычислить вероятность того, что событие, имеющее вероятность p = 0.8 , в n = 10 испытаниях произойдет m = 1 раз. Имеем: C 10 1 = 10 , и далее: P 1 = 10 · 0.8 1 · (1 0.8) 10 1 = 10 · 0.8 1 · 0.2 9 = 0.000004 . Вероятность стала меньше, чем в первом примере! Ответ, на первый взгляд, кажется странным, но поскольку событие имеет достаточно большую вероятность, вряд ли оно произойдет только один раз. Более вероятно, что оно произойдет большее, чем один, количество раз. Действительно, подсчитывая P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , , P 10 (вероятность того, что событие в n = 10 испытаниях произойдет 0, 1, 2, 3, , 10 раз), мы увидим:
C
10 0 = 1
,
C
10 1 = 10
,
C
10 2 = 45
,
C
10 3 = 120
,
C
10 4 = 210
,
C
10 5 = 252
,
C
10 6 = 210
,
C
10 7 = 120
,
C
10 8 = 45
,
C
10 9 = 10
,
C
10 10 = 1
;
P
0 = 1 · 0.8 0 · (1 0.8) 10 0 = 1 · 1 · 0.2 10 = 0.0000
;
P
1 = 10 · 0.8 1 · (1 0.8) 10 1 = 10 · 0.8 1 · 0.2 9 = 0.0000
;
P
2 = 45 · 0.8 2 · (1 0.8) 10 2 = 45 · 0.8 2 · 0.2 8 = 0.0000
;
P
3 = 120 · 0.8 3 · (1 0.8) 10 3 = 120 · 0.8 3 · 0.2 7 = 0.0008
;
P
4 = 210 · 0.8 4 · (1 0.8) 10 4 = 210 · 0.8 4 · 0.2 6 = 0.0055
;
P
5 = 252 · 0.8 5 · (1 0.8) 10 5 = 252 · 0.8 5 · 0.2 5 = 0.0264
;
P
6 = 210 · 0.8 6 · (1 0.8) 10 6 = 210 · 0.8 6 · 0.2 4 = 0.0881
;
P
7 = 120 · 0.8 7 · (1 0.8) 10 7 = 120 · 0.8 7 · 0.2 3 = 0.2013
;
P
8 = 45 · 0.8 8 · (1 0.8) 10 8 = 45 · 0.8 8 · 0.2 2 = 0.3020
(самая большая вероятность!);
P
9 = 10 · 0.8 9 · (1 0.8) 10 9 = 10 · 0.8 9 · 0.2 1 = 0.2684
;
P
10 = 1 · 0.8 10 · (1 0.8) 10 10 = 1 · 0.8 10 · 0.2 0 = 0.1074
Разумеется, P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
Нормальное распределение
Если изобразить величины P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , , P 10 , которые мы подсчитали в примере 3, на графике, то окажется, что их распределение имеет вид, близкий к нормальному закону распределения (см. рис. 27.1 ) (см. лекцию 25. Моделирование нормально распределенных случайных величин).
вероятностей для различных m при p = 0.8, n = 10
Биномиальный закон переходит в нормальный, если вероятности появления и непоявления события A примерно одинаковы, то есть, условно можно записать: p ≈ (1 p ) . Для примера возьмем n = 10 и p = 0.5 (то есть p = 1 p = 0.5 ).
Содержательно к такой задаче мы придем, если, например, захотим теоретически посчитать, сколько будет мальчиков и сколько девочек из 10 родившихся в роддоме в один день детей. Точнее, считать будем не мальчиков и девочек, а вероятность, что родятся только мальчики, что родится 1 мальчик и 9 девочек, что родится 2 мальчика и 8 девочек и так далее. Примем для простоты, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова и равна 0.5 (но на самом деле, если честно, это не так, см. курс «Моделирование систем искусственного интеллекта»).
Ясно, что распределение будет симметричное, так как вероятность рождения 3 мальчиков и 7 девочек равна вероятности рождения 7 мальчиков и 3 девочек. Наибольшая вероятность рождения будет у 5 мальчиков и 5 девочек. Эта вероятность равна 0.25, кстати, не такая уж она и большая по абсолютной величине. Далее, вероятность того, что родится сразу 10 или 9 мальчиков намного меньше, чем вероятность того, что родится 5 ± 1 мальчик из 10 детей. Как раз биномиальное распределение нам поможет сделать этот расчет. Итак.
C
10 0 = 1
,
C
10 1 = 10
,
C
10 2 = 45
,
C
10 3 = 120
,
C
10 4 = 210
,
C
10 5 = 252
,
C
10 6 = 210
,
C
10 7 = 120
,
C
10 8 = 45
,
C
10 9 = 10
,
C
10 10 = 1
;
P
0 = 1 · 0.5 0 · (1 0.5) 10 0 = 1 · 1 · 0.5 10 = 0.000977
;
P
1 = 10 · 0.5 1 · (1 0.5) 10 1 = 10 · 0.5 10 = 0.009766
;
P
2 = 45 · 0.5 2 · (1 0.5) 10 2 = 45 · 0.5 10 = 0.043945
;
P
3 = 120 · 0.5 3 · (1 0.5) 10 3 = 120 · 0.5 10 = 0.117188
;
P
4 = 210 · 0.5 4 · (1 0.5) 10 4 = 210 · 0.5 10 = 0.205078
;
P
5 = 252 · 0.5 5 · (1 0.5) 10 5 = 252 · 0.5 10 = 0.246094
;
P
6 = 210 · 0.5 6 · (1 0.5) 10 6 = 210 · 0.5 10 = 0.205078
;
P
7 = 120 · 0.5 7 · (1 0.5) 10 7 = 120 · 0.5 10 = 0.117188
;
P
8 = 45 · 0.5 8 · (1 0.5) 10 8 = 45 · 0.5 10 = 0.043945
;
P
9 = 10 · 0.5 9 · (1 0.5) 10 9 = 10 · 0.5 10 = 0.009766
;
P
10 = 1 · 0.5 10 · (1 0.5) 10 10 = 1 · 0.5 10 = 0.000977
Разумеется, P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
Отразим на графике величины P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , , P 10 (см. рис. 27.2 ).
p = 0.5 и n = 10, приближающих его к нормальному закону
Итак, при условиях m ≈ n /2 и p ≈ 1 p или p ≈ 0.5 вместо биномиального распределения можно использовать нормальное. При больших значениях n график сдвигается вправо и становится все более пологим, так как математическое ожидание и дисперсия возрастают с увеличением n : M = n · p , D = n · p · (1 p ) .
Кстати, биномиальный закон стремится к нормальному и при увеличении n , что вполне естественно, согласно центральной предельной теореме (см. лекцию 34. Фиксация и обработка статистических результатов).
Теперь рассмотрим, как изменится биномиальный закон в случае, когда p ≠ q , то есть p > 0 . В этом случае применить гипотезу о нормальности распределения нельзя, и биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p > 0 (редкие события)).
Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:
где a = n · p параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения
P m = C n m · p m · (1 p ) n m
может быть написан, если положить p = a /n , в виде
Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m , малые по сравнению с n . Произведение
весьма близко к единице. Это же относится к величине
Величина
очень близка к e a . Отсюда получаем формулу:
Пример . В ящике находится n = 100 деталей, как качественных, так и бракованных. Вероятность достать бракованное изделие составляет p = 0.01 . Допустим, что мы вынимаем изделие, определяем, бракованное оно или нет, и кладем его обратно. Поступая таким образом, получилось, что из 100 изделий, которые мы перебрали, два оказались бракованными. Какова вероятность этого?
По биномиальному распределению получаем:
По распределению Пуассона получаем:
Как видно, величины получились близкими, поэтому в случае редких событий вполне допустимо применять закон Пуассона, тем более что он требует меньших вычислительных затрат.
Покажем графически вид закона Пуассона. Возьмем для примера параметры p = 0.05 , n = 10 . Тогда:
C
10 0 = 1
,
C
10 1 = 10
,
C
10 2 = 45
,
C
10 3 = 120
,
C
10 4 = 210
,
C
10 5 = 252
,
C
10 6 = 210
,
C
10 7 = 120
,
C
10 8 = 45
,
C
10 9 = 10
,
C
10 10 = 1
;
P
0 = 1 · 0.05 0 · (1 0.05) 10 0 = 1 · 1 · 0.95 10 = 0.5987
;
P
1 = 10 · 0.05 1 · (1 0.05) 10 1 = 10 · 0.05 1 · 0.95 9 = 0.3151
;
P
2 = 45 · 0.05 2 · (1 0.05) 10 2 = 45 · 0.05 2 · 0.95 8 = 0.0746
;
P
3 = 120 · 0.05 3 · (1 0.05) 10 3 = 120 · 0.05 3 · 0.95 7 = 0.0105
;
P
4 = 210 · 0.05 4 · (1 0.05) 10 4 = 210 · 0.05 4 · 0.95 6 = 0.00096
;
P
5 = 252 · 0.05 5 · (1 0.05) 10 5 = 252 · 0.05 5 · 0.95 5 = 0.00006
;
P
6 = 210 · 0.05 6 · (1 0.05) 10 6 = 210 · 0.05 6 · 0.95 4 = 0.0000
;
P
7 = 120 · 0.05 7 · (1 0.05) 10 7 = 120 · 0.05 7 · 0.95 3 = 0.0000
;
P
8 = 45 · 0.05 8 · (1 0.05) 10 8 = 45 · 0.05 8 · 0.95 2 = 0.0000
;
P
9 = 10 · 0.05 9 · (1 0.05) 10 9 = 10 · 0.05 9 · 0.95 1 = 0.0000
;
P
10 = 1 · 0.05 10 · (1 0.05) 10 10 = 1 · 0.05 10 · 0.95 0 = 0.0000
Разумеется, P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
При n > ∞ распределение Пуассона переходит в нормальный закон, согласно центральной предельной теореме (см.
Распределение Пуассона - случай биномиального распределения , когда число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события A мала ().
Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.
Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона :
,
где m число наступления события A ;
Среднее значение распределения Пуассона;
e =2,7183 - основание натурального логарифма.
Закон Пуассона зависит от одного параметра - λ (лямбда), смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случаной величины, распределённой по закону Пуассона.
Условия возникновения распределения Пуассона
Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.
Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения , когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):
В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.
Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком) . Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:
- стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
- ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
- отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.
Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона
Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:
математическое ожидание ;
стандартное отклонение ;
дисперсия .
Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel
Вероятность распределения Пуассона P (m ) и значения интегральной функции F (m ) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).
MS Excel требует ввести следующие данные:
- x - число событий m ;
- среднее;
- интегральная - логическое значение: 0 - если нужно вычислить вероятность P (m ) и 1 - если вероятность F (m ).
Решение примеров с распределением Пуассона
Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, ... вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .
Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.
Решение. По формуле Пуассона получаем:
Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины - 0):
P (6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 0) = 0,1398.
Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины - 1):
P (≤6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 1) = 0,7908.
Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.
Продолжаем решать примеры вместе
Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.
Введение
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.
История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.
Среди них нельзя не обратить внимание на труды Симеона Дени Пуассона ((1781–1840) – французский математик), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Число наступлений определённого случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависят от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее. А испытания производятся в стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим учёным в 1837 г.).
Этот закон можно также описывать как предельный случай биноминального распределения, когда вероятность p осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов m, производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе p
0 и m произведение mp стремится к некоторой положительной постоянной величине (т.е. mp ).Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий.
Распределение Пуассона в теории вероятностей
Функция и ряд распределения
Распределение Пуассона – это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).
Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:
где a = n · p – параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения
P m = C n m · p m · (1 – p ) n – m
может быть написан, если положить p = a /n , в виде
Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m , малые по сравнению с n . Произведение
весьма близко к единице. Это же относится к величине
очень близка к e –a . Отсюда получаем формулу:
число Эйлера (2,71…). ,Для производящей функции
величины имеем:Интегральная функция вероятности распределения равна
Классическим примером случайной величины, распределенной по Пуассону, является количество машин, проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен. Также можно отметить такие примеры, как количество звезд на участке неба заданной величины, количество ошибок в тексте заданной длины, количество телефонных звонков в call-центре или количество обращений к веб-серверу за заданный период времени.
Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:
| х m | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
| P m | e -a | … | … |
На рис. 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а .
Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Р m равна единице.
Используем разложение функции е х в ряд Маклорена:
Известно, что этот ряд сходится при любом значении х , поэтому, взяв х=а , получим
следовательно
Числовые характеристики положения о распределении Пуассона
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:
Первый член суммы (соответствующий m =0 ) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m =1 :
Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х .
Кроме математического ожидания, положение случайной величины характеризуется модой и медианой.
Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение.
Для непрерывной величины модой называется точкой локального максимума функции плотности распределения вероятностей. Если многоугольник или кривая распределения имеют один максимум (рис. 2 а), то распределение называется унимодальным, при наличии более одного максимума – мультимодальным (в частности, распределение, имеющее две моды, называется бимодальным). Распределение, имеющее минимум, называется антимодальным (рис. 2 б)
x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x
Наивероятнейшим значением случайной величины называется мода, доставляющая глобальный максимум вероятности для дискретной случайной величины или плотности распределения для непрерывной случайной величины.
Медиана – это такое значение х l , которое делит площадь под графиком плотности вероятности пополам, т.е. медиана является любым корнем уравнения. Математическое ожидание может не существовать, а медиана существует всегда и может быть неоднозначно определенной.
Медианой случайной величины
называется такое её значение = x med , что P ( < x med) = Р ( > x med) = .Числовые характеристики разброса
Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Биномиальный закон распределения относится к случаям, когда была сделана выборка фиксированного объема. Распределение Пуассона относится к случаям, когда число случайных событий происходит на определенных длине, площади, объеме или времени, при этом определяющим параметром распределения является среднее число событийт , а не объем выборки п и вероятность успеха р. Например, количество несоответствий в выборке или количество несоответствий, приходящихся на единицу продукции.
Распределение вероятностей для числа успехов х имеет при этом следующий вид:
Или можно сказать, что дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1, 2, ...т, ...п, а вероятность появления таких значений определяется соотношением:
где m или λ- некоторая положительная величина, называемая параметром распределения Пуассона.
Закон Пуассона распространяется на «редко» происходящие события, при этом возможность очередной удачи (например, сбоя) сохраняется непрерывно, является постоянной и не зависит от числа предыдущих удач или неудач (когда речь идет о процессах, развивающихся во времени, это называют «независимостью от прошлого»). Классическим примером, когда применим закон Пуассона, является число телефонных вызовов на телефонной станции в течение заданного интервала времени. Другими примерами могут быть число чернильных клякс на странице, неаккуратно написанной рукописи, или число соринок, оказавшихся на кузове автомобиля во время его окраски. Закон распределения Пуассона измеряет число дефектов, а не число бракованных изделий.
Распределению Пуассона подчиняется количество случайных событий, которые появляются в фиксированные промежутки времени или в фиксированной области пространства, При λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ> 1 значениеP(m)с ростом т проходит через максимум вблизи /
Особенностью распределения Пуассона является равенство дисперсии математическому ожиданию. Параметры распределения Пуассона
M(x) = σ 2 = λ (15)
Эта особенность распределения Пуассона позволяет на практике утверждать, что экспериментально полученное распределение случайной величины подчинено распределению Пуассона, если выборочные значения математического ожидания и дисперсии примерно равны.
Закон редких событий применяется в машиностроении для выборочного контроля готовой продукции, когда по техническим условиям в принимаемой партии продукции допускается некоторый процент брака (обычно небольшой) q<<0.1.
Если вероятность q события А очень мала (q≤0,1), а число испытаний велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n испытаниях, будет равна
где λ = М(х) = nq
Для вычисления распределения Пуассона можно пользоваться следующими рекуррентными соотношениями
Распределение Пуассона играет важную роль в статистических методах обеспечения качества, поскольку с его помощью можно аппроксимировать гипергеометрическое и биномиальное распределения.
Такая аппроксимация допустима, когда , при условии, что qn имеет конечный предел и q<0.1. Когда п →∞ , а р → 0, среднее п р = т = const.
При помощи закона редких событий можно вычислить вероятность того, что в выборке из n единиц будет содержаться: 0,1,2,3, и т.д. бракованных деталей, т.е. заданное m раз. Можно также вычислить вероятность появления в такой выборке m штук дефектных деталей и более. Эта вероятность на основании правила сложения вероятностей будет равна-:
Пример 1 . В партии имеются бракованные детали, доля которых составляет 0,1. Последовательно берут 10 деталей и обследуют, после чего их возвращают в партию, т.е. испытания носят независимый характер. Какова вероятность того, что при проверке 10 деталей попадется одна бракованная?
Решение Из условия задачи q=0,1; n=10; m=1.Очевидно, что р=1-q=0,9.
Полученный результат можно отнести и к тому случаю, когда извлекается подряд 10 деталей без возврата их обратно в партию. При достаточно большой партии, например, 1000 шт., вероятность извлечения деталей изменится ничтожно мало. Поэтому при таких условиях извлечение бракованной детали можно рассматривать как событие, не зависящее от результатов предшествующих испытаний.
Пример 2. В партии имеется 1% бракованных дета- лей. Какова вероятность того, что при взятии из партии выборки объемом 50 единиц продукции в ней будет находиться 0, 1, 2, 3 ,4дефектных деталей??
Решение. Здесь q=0.01, nq=50*0.01=0.5
Таким образом, для эффективного применения распределения Пуассона как аппроксимации биномиального необходимо, чтобы вероятность успеха р была существенно меньше q . a п р = т была порядка единицы (или нескольких единиц).
Таким образом, в статистических методах обеспечения качества
гипергеометрический закон применим для выборок любого объема п и любого уровня несоответствий q ,
биномиальный закон и закон Пуассона являются его частными случаями соответственно при условии, если n/N<0,1 и
Краткая теория
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Для определения вероятности появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли . Если же велико, то пользуются или . Однако эта формула непригодна, если мала. В этих случаях ( велико, мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона .
Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно раз. Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.
Пример решения задачи
Задача 1
На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.
Решение
Условие применимости формулы Пуассона:
Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю, то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.
Пусть событие – 5 ламп будет разбито
Воспользуемся формулой Пуассона:
В нашем случае:
Ответ
Задача 2
На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовые характеристики.
Решение
Случайная величина – число отказов оборудования, может принимать значения
Воспользуемся законом Пуассона:
Найдем эти вероятности:
.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна параметру этого распределения:
На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете осуществляется по предварительной записи.
Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
