Свойства касательной. Что такое касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям Определение отрезков касательных

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\) , откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\) . Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\) .

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) .

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\) , тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\) , откуда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) , но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} - \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Из треугольника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over{AB} - \frac12\buildrel\smile\over{CD}\) .

Но \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\) , \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\) , пересекает \(a\) в точке \(M\) . Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\) .

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\) . Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\) . Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\) .

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\) , то есть \(\angle OAM = 90^\circ\) , следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги .

По трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\) . Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) .

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) , то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Следовательно, и \(AB=CD\) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\) . Докажем, что \(OQ\perp AB\) .

Рассмотрим \(\triangle AOB\) : он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\) .

2) Пусть \(OQ\perp AB\) . Докажем, что \(AN=NB\) .

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) .

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\) . В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\) , а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\) , откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\) . Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\) : \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) . По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\) . Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\) , что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\) .

Цели урока

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Касательная к окружности”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
• Ввести понятие касательной, точки касания.
• Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач в природе и технике.

Задачи урока

• Формировать навыки в построении касательных с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.
• Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности.
• Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.
• Развивать мышление и речь учащихся.
• Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.
• Привитие интереса к математике.

План урока

1. Появление понятия касательной.
2. История появления касательной.
3. Геометрические определения.
4. Основные теоремы.
5. Построение касательной к окружности.
6. Закрепление.

Появление понятия касательной

Понятие касательной – одно из древнейших в математике. В геометрии касательную к окружности определяют как прямую, имеющую ровно одну точку пересечения с этой окружностью. Древние с помощью циркуля и линейки умели проводить касательные к окружности, а в последствии – к коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам.

История появления касательной

Интерес к касательным возродился в Новое время. Тогда были открыты кривые, которых не знали учёные древности. Например, Галилей ввёл циклоиду, а Декарт и Ферма построили к ней касательную. В первой трети XVII в. Начали понимать, что касательная – прямая, «наиболее тесно примыкающая» к кривой в малой окрестности заданной точки. Легко представить себе такую ситуацию, когда нельзя построить касательную к кривой в данной точке (рисунок).

Геометрические определения

Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром.

окружность .

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом окружности.
• Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
• Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .
• Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
• Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
• Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей .
• Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.
• Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом .
• Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной . При этом данная точка окружности называется точкой касания.

Где в нашем случаи "а" это прямая какая является касательной к данной окружности, точка "А" является точкой касания. При этом а⊥ОА (прямая а перпендикулярна радиусу ОА).

Говорят, что две окружности касаются , если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей . Через точку касания можно провести касательную к одной из окружностей, которая является одновременно и касательной к другой окружности. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.

Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от касательной.

Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от касательной

а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.

Основные теоремы

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA MB.

Теорема. Радиус, проведенный в точку касания окружности, перпендикулярен касательной.

Теорема. Если радиус перпендикулярен прямой в точке пересечения ею окружности, то эта прямая - касательная к этой окружности.

Доказательство.

Для доказательства этих теорем нам нужно вспомнить, что такое перпендикуляр из точки на прямую. Это кратчайшее растояние от этой точки до этой прямой. Допустим, что ОА не перпендикулярен касательной, а есть прямая ОС перпендикулярная касательной. Длина ОС заключает в себе длину радиуса и еще некий отрезок ВС, что безусловно больше радиуса. Таким образом, можно доказывать для любой прямой. Заключаем, что радиус, радиус проведенный в точку касания, есть кратчайшее растояние до касательной из точки О, т.е. ОС перпендикулярен касательной. В доказательстве обратной теоремы будем исходить из того, что касательная имеет с окружностью только одну общую точку. Пусть данная прямая имеет еще одну общую точку В с окружностью. Треугольник АОВ прямоугольный и в нем две стороны равны как радиусы, чего быть не может. Таким образом получаем, что данная прямая не имеет больше общих точек с окружность кроме точки А, т.е. является касательной.

Теорема. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, а прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными попалам.

Доказательство.

Доказательство очень простое. Используя предыдущую теорему, утверждаем, что ОВ перпендикулярен АВ, а ОС - АС. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по катету и гипотенузе (ОВ=ОС - радиусы, АО - общая). Поэтому равны и их катеты АВ=АС и углы ОАС и ОАВ.

Теорема. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство.

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной и хордой. Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точку касания, следовательно, ∠CAN=90 о. Зная теорему, видим, что угол альфа (a) равен половинеполовине угловой величины дуги ВС или половине угла ВОС. ∠NAB=90 о -a, отсюда получаем ∠NAB=1/2(180 о -∠BOC)=1/2∠АОВ или = половине угловой величины дуги ВА. ч.т.д.

Теорема. Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Доказательство.

На рисунке эта теорема выглядит так: МА 2 =МВ*МС. Докажем это. По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС, но также и угол АВС равен половине угловой величины дуги АС по теореме, следовательно, эти углы равны между собой. Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам (второй признак). Из подобия имеем: МА/MB=MC/MA, откуда получаем МА 2 =МВ*МС

Построение касательных к окружности

А теперь давайте попробуем разобраться и узнать, что нужно сделать, чтобы построить касательную к окружности.

В этом случае, как правило, в задаче дается окружность и точка. А нам с вами необходимо построить касательную к окружности так, чтобы эта касательная проходила через заданную точку.

В том случае, если нам неизвестно месторасположение точки, то давайте рассмотрим случаи возможного расположения точек.

Во-первых, точка может находиться внутри круга, который ограничен данной окружностью. В этом случае касательную через эту окружность построить нет возможности.

Во втором случае, точка находится на окружности, и мы можем строить касательную, проведя перпендикулярную прямую к радиусу, которой проведен к известной нам точке.

В-третьих, припустим, точка находится за приделами круга, который ограничен окружностью. В этом случае перед тем, как построить касательную, необходимо найти точку на окружности, через которую должна пройти касательная.

С первым случаем, я надеюсь вам все понятно, а вот для решения второго варианта нам необходимо на прямой, на которой лежит радиус, построить отрезок. Этот отрезок должен быть равен радиусу и отрезку, который лежит на окружности, на противоположной стороне.

Здесь мы с вами видим, что точка на окружности является серединой отрезка, который равен удвоенному радиусу. Следующим этапом будет построение двух окружностей. Радиусы этих окружностей будут равняться удвоенному радиусу первоначальной окружности, с центрами в концах отрезка, который равен удвоенному радиусу. Теперь мы можем через любую точку пересечения этих окружностей и заданную точку провести прямую. Такая прямая является срединным перпендикуляром к радиусу окружности, которая была начерчена вначале. Таким образом, мы с вами видим, что эта прямая перпендикулярна окружности и из этого следует, что она является касательной к окружности.

В третьем варианте у нас есть точка, лежащая за приделами круга, который ограничен окружностью. В этом случае мы вначале строим отрезок, который соединит центр предоставленной окружности и заданную точку. А дальше мы находим его середину. Но для этого необходимо построить серединный перпендикуляр. А как его построить вам уже известно. Потом нам нужно начертить окружность или хотя бы ее часть. Теперь мы видим, что точка пересечения заданной окружности и вновь построенной и есть та точка, через которую проходит касательная. Также она проходит и через точку, которая была задана по условию задачи. И наконец, уже через известные вам две точки вы можете провести касательную прямую.

Ну и наконец, чтобы доказать, то, что построенная нами прямая является касательной, нужно обратить внимание на угол, который был образован радиусом окружности и отрезком, известным по условию и соединяющим точку пересечения окружностей с точкой, данной по условию задачи. Теперь мы видим, что образовавшийся угол опирается на полуокружность. А из этого следует, что этот угол прямой. Следовательно, радиус будет перпендикулярен вновь построенной прямой, а эта прямая и есть касательная.

Построение касательной.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления».

Геометрические познания древних египтян.

Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство.

Об уровне геометрических познаний можно судить из древних рукописей, которые специально посвящены математике и являются чем-то вроде учебников, или, вернее, задачников, где даны решения разных практических задач.

Древнейшая математическая рукопись египтян переписана неким учеником между 1800 – 1600 г.г. до н.э. с более древнего текста. Папирус разыскал русский египтолог Владимир Семенович Голенищев. Он хранится в Москве - в Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина, и называется Московским папирусом.

Другой математический папирус, написанный лет на двести-триста позднее Московского, хранится в Лондоне. Он называется: „Наставление, как достигнуть знания всех тёмных вещей, всех тайн, которые скрывают в себе вещи… По старым памятникам писец Ахмес написал это". Рукопись так и называют „папирусом Ахмеса", или папирусом Райнда - по имени англичанина, который разыскал и купил этот папирус в Египте. В папирусе Ахмеса даётся решение 84 задач на различные вычисления, которые могут понадобиться на практике.

Понятие касательной к окружности

Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Введем теперь понятие касательной прямой к окружности.

Определение 1

Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с ней одну точку пересечения.

Общая точка окружности и касательной называется точкой касания (рис 1).

Рисунок 1. Касательная к окружности

Теоремы, связанные с понятием касательной к окружности

Теорема 1

Теорема о свойстве касательной : касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство.

Рассмотрим окружность с центром $O$. Проведем в точке $A$ касательную $a$. $OA=r$ (Рис. 2).

Докажем, что $a\bot r$

Будем доказывать теорему методом «от противного». Предположим, что касательная $a$ не перпендикулярна радиусу окружности.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

То есть $OA$ - наклонная к касательной. Так как перпендикуляр к прямой $a$ всегда меньше наклонной к этой же прямой, то расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Как нам известно, в этом случае прямая имеет две точки пересечения с окружностью. Что противоречит определению касательной.

Следовательно, касательная перпендикулярна к радиусу окружности.

Теорема доказана.

Теорема 2

Обратная теореме о свойстве касательной : Если прямая, проходящая через конец радиуса какой-либо окружности перпендикулярна радиусу, то данная прямая является касательной к этой окружности.

Доказательство.

По условию задачи мы имеем, что радиус -- перпендикуляр, проведенный из центра окружности к данной прямой. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой равняется длине радиуса. Как мы знаем, в этом случае окружность имеет только одну точку пересечения с этой прямой. По определению 1 и получаем, что данная прямая -- касательная к окружности.

Теорема доказана.

Теорема 3

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $A$ (лежащей все окружности) проведены две различные касательные. Из точки касания соответственно $B$ и $C$ (Рис. 3).

Докажем, что $\angle BAO=\angle CAO$ и что $AB=AC$.

Рисунок 3. Иллюстрация теоремы 3

По теореме 1, имеем:

Следовательно, треугольники $ABO$ и $ACO$ -- прямоугольные. Так как$OB=OC=r$, а гипотенуза $OA$ -- общая, то эти треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда и получаем, что $\angle BAO=\angle CAO$ и $AB=AC$.

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие касательной к окружности

Пример 1

Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r=3\ см$. Касательная $AC$ имеет точку касания $C$. $AO=4\ см$. Найти $AC$.

Решение.

Изобразим вначале все на рисунке (Рис. 4).

Рисунок 4.

Так как $AC$ касательная, а $OC$ радиус, то по теореме 1, получаем, что$\angle ACO={90}^{{}^\circ }$. Получили, что треугольник $ACO$ -- прямоугольный, значит, по теореме Пифагора, имеем:

\[{AC}^2={AO}^2+r^2\] \[{AC}^2=16+9\] \[{AC}^2=25\] \

Точки $x\_0\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$, и дифференцируема в ней: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}(x\_0)$. Касательной прямой к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется график линейной функции , задаваемый уравнением $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Если функция $f$ имеет в точке $x\_0$ бесконечную производную $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\; \backslash infty,$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением $x\; =\; x\_0.$

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $(x\_0,f(x\_0))$. Угол $\backslash alpha$ между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=\; k,$

где $\backslash operatorname\{tg\}$ обозначает тангенс , а $\backslash operatorname\; \{k\}$ - коэффициент наклона касательной. Производная в точке $x\_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y\; =\; f(x)$ в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть $f\backslash colon\; U(x\_0)\; \backslash to\; \backslash R$ и $x\_1\; \backslash in\; U(x\_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки $(x\_0,f(x\_0))$ и $(x\_1,f(x\_1))$ задаётся уравнением

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac\{f(x\_1)\; -\; f(x\_0)\}\{x\_1\; -\; x\_0\}(x-x\_0).$

Эта прямая проходит через точку $(x\_0,f(x\_0))$ для любого $x\_1\backslash in\; U(x\_0),$ и её угол наклона $\backslash alpha(x\_1)$ удовлетворяет уравнению

$\backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac\{f(x\_1)\; -\; f(x\_0)\}\{x\_1\; -\; x\_0\}.$

В силу существования производной функции $f$ в точке $x\_0,$ переходя к пределу при $x\_1\; \backslash to\; x\_0,$ получаем, что существует предел

$\backslash lim\backslash limits\_\{x\_1\; \backslash to\; x\_0\}\; \backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\backslash alpha\; =\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,f"(x\_0).$

Прямая, проходящая через точку $(x\_0,f(x\_0))$ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$ задаётся уравнением касательной:

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0).$

Касательная к окружности

Прямая , имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens - «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Если существует бесконечная правая производная $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Если существует бесконечная левая производная $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ то правой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)).$

См. также

• Нормаль , бинормаль

Напишите отзыв о статье "Касательная прямая"

Литература

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. - Физматкнига, 2012. - ISBN 9785891552135 .
• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Отрывок, характеризующий Касательная прямая

– По местам! – крикнул молоденький офицер на собравшихся вокруг Пьера солдат. Молоденький офицер этот, видимо, исполнял свою должность в первый или во второй раз и потому с особенной отчетливостью и форменностью обращался и с солдатами и с начальником.
Перекатная пальба пушек и ружей усиливалась по всему полю, в особенности влево, там, где были флеши Багратиона, но из за дыма выстрелов с того места, где был Пьер, нельзя было почти ничего видеть. Притом, наблюдения за тем, как бы семейным (отделенным от всех других) кружком людей, находившихся на батарее, поглощали все внимание Пьера. Первое его бессознательно радостное возбуждение, произведенное видом и звуками поля сражения, заменилось теперь, в особенности после вида этого одиноко лежащего солдата на лугу, другим чувством. Сидя теперь на откосе канавы, он наблюдал окружавшие его лица.
К десяти часам уже человек двадцать унесли с батареи; два орудия были разбиты, чаще и чаще на батарею попадали снаряды и залетали, жужжа и свистя, дальние пули. Но люди, бывшие на батарее, как будто не замечали этого; со всех сторон слышался веселый говор и шутки.
– Чиненка! – кричал солдат на приближающуюся, летевшую со свистом гранату. – Не сюда! К пехотным! – с хохотом прибавлял другой, заметив, что граната перелетела и попала в ряды прикрытия.
– Что, знакомая? – смеялся другой солдат на присевшего мужика под пролетевшим ядром.
Несколько солдат собрались у вала, разглядывая то, что делалось впереди.
– И цепь сняли, видишь, назад прошли, – говорили они, указывая через вал.
– Свое дело гляди, – крикнул на них старый унтер офицер. – Назад прошли, значит, назади дело есть. – И унтер офицер, взяв за плечо одного из солдат, толкнул его коленкой. Послышался хохот.
– К пятому орудию накатывай! – кричали с одной стороны.
– Разом, дружнее, по бурлацки, – слышались веселые крики переменявших пушку.
– Ай, нашему барину чуть шляпку не сбила, – показывая зубы, смеялся на Пьера краснорожий шутник. – Эх, нескладная, – укоризненно прибавил он на ядро, попавшее в колесо и ногу человека.
– Ну вы, лисицы! – смеялся другой на изгибающихся ополченцев, входивших на батарею за раненым.
– Аль не вкусна каша? Ах, вороны, заколянились! – кричали на ополченцев, замявшихся перед солдатом с оторванной ногой.
– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.
Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.

Доказательство

Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.

На рисунке 287 изображена окружность с центром O , M - точка пересечения диаметра CD и хорды AB , CD ⊥ AB . Надо доказать, что AM = MB .

Проведём радиусы OA и OB . В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB ) отрезок OM - высота, а значит, и медиана, т. е. AM = MB .

Теорема 20.2

Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.

На рисунке 288 показаны все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. На рисунке 288, а они не имеют общих точек, на рисунке 288, б - имеют две общие точки, на рисунке 288, в - одну.

Рис. 288

Определение

Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 288, в прямая a - касательная к кругу с центром в точке O , A - точка касания.

Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 289 изображён отрезок AB , который касается окружности в точке С .

Теорема 20.3

(свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство

На рисунке 290 изображена окружность с центром O , A - точка касания прямой a и окружности. Надо доказать, что OA ⊥ a .

Рис. 289	Рис. 290	Рис. 291

Предположим, что это не так, т. е. отрезок OA - наклонная к прямой a . Тогда из точки O опустим перпендикуляр OM на прямую a (рис. 291). Поскольку точка A - единственная общая точка прямой a и круга с центром O , то точка M не принадлежит этому кругу. Отсюда OM = MB + OB , где точка B - точка пересечения окружности и перпендикуляра OM . Отрезки OA и OB равны как радиусы окружности. Таким образом, OM > OA. Получили противоречие: перпендикуляр OM больше наклонной OA . Следовательно, OA ⊥ a .

Теорема 20.4

(признак касательной к окружности)

Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство

Рис. 292

На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке O , отрезок OA - её радиус, точка A принадлежит прямой a , OA ⊥ a . Докажем, что прямая a - касательная к окружности.

Пусть прямая a не является касательной, а имеет ещё одну общую точку B с окружностью (рис. 292). Тогда ∆ AOB - равнобедренный (OA = OB как радиусы). Отсюда ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Получаем противоречие: в треугольнике AOB есть два прямых угла. Следовательно, прямая a является касательной к окружности.

Следствие

Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Рис. 293

Докажите это следствие самостоятельно.

Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

Решение. На рисунке 293 изображена окружность с центром O .Прямые AB и AC - касательные, точки B и C - точки касания. Надо доказать, что AB = AC .

Проведём радиусы OB и OC в точки касания. По свойству касательной OB ⊥ AB и OC ⊥ AC . В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO - общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC .

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?
2. Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам?
3. Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.
4. Какую прямую называют касательной к окружности?
5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности?
6. Сформулируйте признак касательной к окружности.
7. Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?

Практические задания

507. Начертите окружность с центром O , проведите хорду AB . Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.

508. Начертите окружность с центром O , проведите хорду CD . Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде CD .

509. Начертите окружность, отметьте на ней точки A и B .Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках A и B .

510. Проведите прямую a и отметьте на ней точку M .Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой a в точке M .Сколько таких окружностей можно провести?

Упражнения

511. На рисунке 294 точка O - центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB . Докажите, что ∠ AOD = ∠ BOD .

512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

514. Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?

515. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB - хорда окружности, ∠ BAD = 35° (рис. 295). Найдите ∠ AOB .

516. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB - хорда окружности, ∠ AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ∠ BAC .

517. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?

518. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°. Докажите, что:

1) прямая BC является касательной к окружности с центром A , проходящей через точку C ;

2) прямая AB не является касательной к окружности с центром C , проходящей через точку A .

519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB , перпендикулярную ему. Докажите, что ∠ AOB = 120°.

521. Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB ; 2) радиуса окружности.

522. В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Найдите длину хорды CD .

523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB , A и B - точки касания, ∠ OAB = 20°. Найдите ∠ AMB .

524. Через концы хорды AB , равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C .Найдите ∠ ACB .

525. Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB - диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD . Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD .

526. Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB .

Рис. 294	Рис. 295	Рис. 296

527. Отрезки AB и BC - соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ ABC = 30°. Через точку A провели касательную к окружности, пересекающую прямую BC в точке D .Докажите, что ∆ ABD - равнобедренный.

528. Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD - также диаметр.

529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.

530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.

531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.

532. Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B , пересекаются в точке K , ∠ AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK .

533. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC .

Рис. 297

534. Через точку C проведены касательные AC и BC к окружности, A и B - точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку M , лежащую в одной полуплоскости с точкой C относительно прямой AB , и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M .

Упражнения для повторения

535. Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.

536. Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку M выбрали так, что треугольник AMB - равнобедренный с основанием AB . Докажите, что ∆ CMD также является равнобедренным с основанием CD .

537. На стороне MK треугольника MPK отметили точки E и F так, что точка E лежит между точками M и F , ME = EP , PF = FK . Найдите угол M , если ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BM , из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK , ∠ ABM = ∠ KMC . Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?

Рис. 298