МОДЕЛЬ ОФОРМЛЕНИЯ СЦЕНАРИЯ ТВОРЧЕСКОГО УРОКА
Общие требования:
Полное название образовательного учреждения: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 90», Томская область, город Северск
Предмет: геометрия
Тема: Многогранники и тела вращения.
Класс: 11
Время реализации занятия: 2 урока (90 мин.)
Цель урока: повторение изучаемого материала.
Задачи урока:
Образовательные: контроль за уровнем усвоения материала.
Развивающие: формирование навыков продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений.
Воспитательные: воспитание ответственности, коллективизма, уважительное отношение к мнению партнёра.
Тип урока: обобщающий урок
Форма урока:
- Урок – аукцион ;
Оборудование: переносная доска, карточки с вопросами, игровые денежки.
План проведения урока:
Этапы урока | Временная реализация |
| 5 минут |
| 35 минут |
| 40 минут |
| 10 минут |
Ход урока:
Урок – аукцион является одной из форм проверки знаний, умений учащихся по данной большой теме.
Правила игры.
Класс делится на три команды, выбирается жюри. Все команды перед началом аукциона получают в «банке» (роль банкира играет один из членов жюри или учитель) первоначальный капитал в виде краткосрочного кредита под 30% годовых в размере 1000 денежек (или других денежных знаков) Приложение №1.
Это означает, что в конце игры все взявшие кредит должны вернуть в банк 1300д. (1000д. – сам кредит и 300д. составляют 30% от суммы кредита);
Расписываясь в банковской книге «Выдачи кредитом» за его получение, капитан команды одновременно с деньгами получает номер участника аукциона и лицевой счёт команды Приложение №2 . Только имёя номер, команда может претендовать на тот или иной лот (вопрос, правильный ответ на который приносит команде определенный доход, выставленный на аукционе).
Игра состоит из двух или более туров.
Перед проведением очередного тура аукционист (ведущий аукцион преподаватель) объявляет характер предлагаемых лотов и порядок проведения торгов.
Первый Тур « Конкретный вопрос».
Тур проходит по следующим правилам:
- задается конкретный вопрос по теме «Многогранники, тела вращения»;
- право на ответ может купить любая команда, имеющая номер, заплатив небольшую сумму в ходе открытых торгов;
- первоначальная стартовая цена каждого лота (права на ответ) 100д., а торговый (аукционный) шаг стоит 50д., т. е. торг ведется суммами, кратными 50д. Например, одна из команд называет свою цену за конкретный вопрос, предложенный аукционистом, - 150д. Если какая- то другая команда также хочет приобрести этот лот (право на ответ), то она называет цену – 200д. (250д. 300д. и т. д.), т. е. каждый раз цена увеличивается на 50д. (или сразу на 100д., или на 200д. и т. п.);
- называя свою цену, капитан команды должен поднять и показать аукционисту номер, который он получил перед началом аукциона;
- команда, купившая очередной лот, платит в банк сумму, за которую она купила этот выставленный лот;
- за правильный ответ на купленный вопрос команда получает денежное вознаграждение от 500 до 1500д., в зависимости от сложности вопроса;
- если участники команды неверно ответили на вопрос, они платят в банк штраф в размере 200д., и лот снимается с торгов и может быть выставлен в конце первого тура для повторной продажи.
Аукционист отвечает на вопросы участников, и открываются торги.
1.1 Чему равен угол между плоскостью основания прямого цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д. Кто дает большую цену?
1.2 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д.
[Равны, т.к. осевое сечение
конуса равнобедренный треугольник]
1.3 Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубями, остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих по пытаются определить, что это за огни: Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете? Вознаграждение 1500д.
[Не важно, какого цвета огни, - красного, зеленого или голубого.
Объект представляет собой геометрическое тело с 12-ю гранями.
Значит, оно может быть только декаэдром (двенадцатигранником). Каждая его грань представляет собой правильный пятиугольник.]
Могут ли вершины прямоугольного треугольника с катетами 4см и см лежать на сфере радиуса см? Вознаграждение 1000д.
[Нет]
1.4 Круглое бревно весит 30кг. Сколько весит бревно, которое вдвое толще, но вдвое короче? Вознаграждение 1500д.
[От увеличения вдвое объем круглого бревна увеличивается
вчетверо; от укорочения же вдвое объем бревна уменьшается
всег о в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно
быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е; весит 60 кг.]
1.5 Какая из двух банок, изображенных на рис. 1, вместительнее - широкая, или втрое более высокая, но вдвое более узкая? Вознаграждение 1500 р.
[Высокая банка менее вместительна. Это легко проверить. Площадь основания широкой банки в 2 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой; высота же ее всего в три раза меньше. Значит, объем широкой банки в раза больше, чем узкой. Если содержимое высокой банки перелить в широкую, заполнится лишь ее объема.]
1.6 Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 2)? Вознаграждение 1000д.
[ 60° (рис. 3 , а); 120°, (рис. 3, б).]
1.7 Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что менее.
Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения? Вознаграждение 1500д.
[Если бы вода в бочке была налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидели бы, что высшая точка два находится также на уровне воды. Это ясно из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит, ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне бочки должен выступать из воды больший или меньший сегмент два. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклоне верхняя часть дна окажется под водой.]
1.8 Как найти вместимость объем стакана с помощью весов? Вознаграждение 1000д.
[Пусть масса стакана с водой а без воды ,
тогда где - плотность; для воды .]
1.9 «Сюрприз». Команда, купившая этот лот, получает карточку, в которой написано: «Вы имеете право на приобретение по первоначальной стартовой цене одного из лотов второго тура аукциона или получить в банке премию в размере 500д.».
1.10 Вычислите приближенно объем мяча, если в вашем распоряжении нитка и измерительная линейка. Вознаграждение 1500д.
[Пусть D - диаметр мяча, l - длина наибольшей
Окружности на поверхности мяча, найденная
с помощью нитки и линейки, тогда
1.11 С помощью мензурки определите радиус вмещающегося в нее шара. Вознаграждение 1500д.
[С помощью мензурки находим V - объем шара, а его
радиус вычисляем по формуле .]
1.12 Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение: необходимо, пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки (с круглым, квадратным или прямоугольным дном), которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать или доливать жидкость не разрешается. Вознаграждение 1500д.
[Так как дно бутылки по условию имеет форму круга или квадрата, или прямоугольника, то его площадь легко можно определить при помощи одной только масштабной линейки. Обозначим площадь дна через S. Измерим высоту h
1
, жидкости в бутылке. Тогда объем той части бутылки, которую занимает жидкость, равен Sh
1
, (рис.б). Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту h
2
, ее части от уровня жидкости до дна бутылки. Объем этой части бутылки равен
Sh
2
.
Остальную часть бутылки занимает жидкость, объем которой уже определен - он равен Sh
1
. Отсюда следует, что объем всей бутылки равен
]
Третий тур. Закрытый лот «Неизвестный вопрос».
В этом туре команды покупают закрытый лот, не зная, какой вопрос будет в этом лоте. В остальном правила проведения аукциона остаются прежними, лишь цена за правильный ответ на купленный в лоте вопрос увеличивается и составляет от 1500д. до 3000д. в зависимости от сложности вопроса. Вопрос формулируется лишь после того, как какая-либо команда купит лот.
«Неизвестные вопросы»:
- Стартовая цена 100д., аукционный шаг 50д. Вопрос. Сформулируйте определение цилиндра.
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Задание. Сформулируйте определение конуса.
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Первоначальная стартовая цена 100д. Вопрос. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. На какие многогранники рассёкает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания? [На две пирамиды: треугольную и четырехугольную (рис. 5).
- «Сюрприз». Команда, купившая этот лот получает карточку, в которой написано: «Вы совершили удачную сделку, ваши наличные деньги увеличиваются на 50% ».
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. В результате вращения какой фигуры может быть получен усеченный конус?
- Задание. Сформулируйте определение призмы.
- Задание. Перечислите свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 3000д. Вопрос. Назовите все виды призм. В чем состоят их различия?
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 2500д. Задание. Сформулируйте определения пирамиды и усеченной пирамиды.
- Денежное вознаграждение за правильный ответ? Вопрос. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Из каких тел состоит тело , полученное вращением равнобедренной трапецией вокруг большего основания? [Полученное тело состоит из двух равных конусов и цилиндра].
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?
- Денежное вознаграждение за правильный ответ 2000д. Вопрос. Сформулируйте определение шара, и сферы.
В конце игры аукционист просит всех участников подсчитать сумму наличных денег, вернуть взятый в банке кредит и 30 % годовых за пользование им (т. е. 1300д.). Победителем игры считается команда, у которой на руках осталось больше всего денег.
Все учащиеся выигравшей команды получают отличные оценки; отличные оценки выставляются также наиболее активным учащимся других команд, всем остальным учащимся оценка не выставляется.
Примечания.
Вопросы, сформулированные для двух туров аукциона можно заменить на более сложные и требующими развернутых ответов, или более простыми и доступными.
Количество вопросов в каждом туре можно увеличить или уменьшить в зависимости от времени, которым располагает учитель или от интереса учеников.
Игру-аукцион можно использовать также при изучении практически любого учебного предмета. Для этого нужно лишь продумать четкие и конкретные вопросы по уже пройденному материалу и распределить их по двум турам аукциона.
Дополнения.
Все команды, участвующие в аукционе, заводят свои лицевые счета. Приложение №2.
В графе «Приход» команды фиксируют все денежные поступления, в графе «Расход» указывают все выплаты, а в графе «Остаток» - оставшиеся на данный момент денежные средства.
Первая запись, которую делает в лицевом счёте каждая команда: в графе «Приход» фиксируется полученный в банке кредит (1000д.)
Лицевой счёт |
|||
Номер команды 1 |
|||
Получено в банке 1000д. |
|||
Номер записи | Приход | Расход | Остаток |
1000 | 1000 |
||
Например, члены команды №1 купили в первом туре вопрос 2, указав наибольшую сумму 350д. Значит, сразу же после покупки капитан команды (или какой-либо ее участник) в лицевом счете своей команды делает запись и вычисляет остаток денежных средств:
Лицевой счёт |
|||
Номер команды 1 |
|||
Получено в банке 1000д. |
|||
Номер записи | Приход | Расход | Остаток |
1000 | 1000 |
||
Если команда №1 правильно ответила На купленный вопрос, то она получает денежное вознаграждение 500д. (в соответствии с правилами первого тура аукциона) и делает третью запись в графе «Приход»:
Лицевой счёт |
|||
Номер команды 1 |
|||
Получено в банке 1000д. |
|||
Номер записи | Приход | Расход | Остаток |
1000 | 1000 |
||
1150 |
|||
Такие же лицевые счета находятся у члена жюри (счет той команды, работу которой он оценивает).
Таким образом, ведя постоянный учет, команда в любой момент игры видит реальный остаток своих денежных средств. Это удобно и для преподавателя, если возникает необходимости проверить кредитоспособность команды.
Если у какой-либо команды закончились денежные средства, капитан может с разрешения преподавателя получить в банке дополнительный кредит (не более 1000д.), но уже под 50 % годовых.
Список использованной литературы:
- Кордемский Б А.
Удивительный мир чисел. - М., Просвещение, 1986.
1 вариант
1. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:
1. Четырехугольник 2. Многоугольник 3. Многогранник 4. Шестиугольник
2. К многогранникам относятся:
1. Параллелепипед 2. Призма 3. Пирамида 4. Все ответы верны
3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:
1. Диагональю 2. Ребром 3. Гранью 4. Осью
4. У призмы боковые ребра:
1. Равны 2. Симметричны 3. Параллельны и равны 4. Параллельны
5. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:
1. Противолежащими 2. Противоположными 3. Симметричными 4. Равными
6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:
1. Медианой 2. Осью 3. Диагональю 4. Высотой
7. Точки, не лежащие в плоскости основания пирамиды, называются:
1. Вершинами пирамиды 2. Боковыми ребрами 3. Линейным размером
4. Вершинами грани
8. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:
1. Медианой 2. Апофемой 3. Перпендикуляром 4. Биссектрисой
9. У куба все грани:
1. Прямоугольники 2. Квадраты 3. Трапеции 4. Ромбы
10. Тело, состоящее из двух кругов и всех отрезков, соединяющих точки кругов называется:
1. Конусом 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Сферой
11. У цилиндра образующие:
1. Равны 2. Параллельны 3. Симметричны 4. Параллельны и равны
12. Основания цилиндра лежат в:
1. Одной плоскости 2. Равных плоскостях 3. Параллельных плоскостях 4. Разных плоскостях
13. Поверхность конуса состоит из:
1. Образующих 2. Граней и ребер 3. Основания и ребра 4. Основания и боковой поверхности
14. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется:
1. Радиусом 2. Центром 3. Осью 4. Диаметром
15. Всякое сечение шара плоскостью есть:
1. Окружность 2. Круг 3. Сфера 4. Полукруг
16. Сечение шара диаметральной плоскостью называется:
1. Большим кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Окружностью
17. Круг конуса называется:
1. Вершиной 2. Плоскостью 3. Гранью 4. Основанием
18. Основания призмы:
1. Параллельны 2. Равны 3. Перпендикулярны 4. Не равны
19. Площадью боковой поверхности призмы называется:
1. Сумма площадей боковых многоугольников
2. Сумма площадей боковых ребер
3. Сумма площадей боковых граней
4. Сумма площадей оснований
20. Пересечения диагоналей параллелепипеда является его:
1. Центром 2. Центром симметрии 3. Линейным размером 4. Точкой сечения
21. Радиус основания цилиндра 1,5 см, высота 4см. Найти диагональ осевого сечения.
1. 4,2 см. 2. 10 см. 3. 5 см.
0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?
1. 7 см. 2. 14 см. 3. 3,5 см.
23. Высота цилиндра равна 8 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.
1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .
24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 15 см и 12 см, высота 4 см. Чему равна образующая конуса?
1. 5 см 2. 4 см 3. 10 см
МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
2 вариант
1. Вершины многогранника обозначаются:
1. а, в, с, d ... 2. А, В, С, D ... 3. ab , cd , ac , ad ... 4. АВ, СВ, А D , СD ...
2. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:
1. Пирамидой 2. Призмой 3. Цилиндром 4. Параллелепипедом
3. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:
1. Наклонной 2. Правильной 3. Прямой 4. Выпуклой
4. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:
1. Правильной призмой 2. Параллелепипедом 3. Правильным многоугольником
4. Пирамидой
5. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:
1. Конусом 2. Пирамидой 3. Призмой 4. Шаром
6. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:
1. Гранями 2. Сторонами 3. Боковыми ребрами 4. Диагоналями
7. Треугольная пирамида называется:
1. Правильной пирамидой 2. Тетраэдром 3. Треугольной пирамидой 4. Наклонной пирамидой
8. К правильным многогранникам не относится:
1. Куб 2. Тетраэдр 3. Икосаэдр 4. Пирамида
9. Высота пирамиды является:
1. Осью 2. Медианой 3. Перпендикуляром 4. Апофемой
10. Отрезки, соединяющие точки окружностей кругов, называются:
1. Гранями цилиндра 2. Образующими цилиндра 3. Высотами цилиндра
4. Перпендикулярами цилиндра
1. Осью цилиндра 2. Высотой цилиндра 3. Радиусом цилиндра
4. Ребром цилиндра
12. Тело, которое состоит из точки, круга и отрезков соединяющих их, называется:
1. Пирамидой 2. Конусом 3. Шаром 4. Цилиндром
13. Тело, которое состоит из всех точек пространства, называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Полусферой
14. Граница шара называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Сечением 4. Окружностью
15. Линия пересечения двух сфер есть:
1. Круг 2. Полукруг 3. Окружность 4. Сечение
16. Сечение сферы называется:
1. Кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Малой окружностью
17. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:
1. Треугольниками 2. Углами 3. Многоугольниками 4. Шестиугольниками
18. Боковая поверхность призмы состоит из…
1. Параллелограммов 2. Квадратов 3. Ромбов 4. Треугольников
19. Боковая поверхность прямой призмы равна:
1. Произведению периметра на длину грани призмы
2. Произведению длины грани призмы на основание
3. Произведению длины грани призмы на высоту
4. Произведению периметра основания на высоту призмы
20. К правильным многогранникам относятся:
21. Радиус основания цилиндра 2,5 см, высота 12см. Найти диагональ осевого сечения.
1. 15 см; 2. 14 см; 3. 13 см.
22. Наибольший угол между образующими конуса 60 0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 5 см?
1. 5 см; 2. 10 см; 3. 2,5 см.
23. Высота цилиндра равна 4 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.
1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .
24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 12 см, высота 8 см. Чему равна образующая конуса?
1. 10 см; 2. 4 см; 3. 6 см.
МКОУ «3наменская средняя общеобразовательная школа» Щигровского р-на Курской области
Урок - экскурсия
«Многогранники. Тела вращения»
(урок геометрии в 11 классе)
Подготовила: учитель математики Букреева Т. А.
ТЕМА УРОКА: Повторение по теме «Многогранники. Тела вращения».
Цель урока: 1. Повторить изученное.и обобщить знания учащихся.
2. Развитие познавательного интереса учащихся к предмету, расширение кругозора, межпредметных связей.
З. Воспитание познавательной активности учащихся.
План урока:
1. Вступительное слово учителя.
2. Экскурсия «Мир многогранников».
З. Экспериментальные опыты.
4. Практическая работа.
5. Решение задач.
7. Итог урока.
Оборудование: Модели многогранников, тел вращения, картина художника Шишкина «Корабельная роща», картина Сальвадора Дали «Тайная вечерня», таблицы с формулами, рисунки с изображениями многогранников, портреты ученых, сосуды с водой для проведения опытов, измерительные сосуды, компьютер, проектор.
Ход урока:
1 . Вступительное слово учителя
Ребята, сегодня мы проводим очередной урок повторения курса геометрии, который пройдет в необычной форме. Тема урока повторения «Многогранники. Тела вращения» Мы уже повторяли с вами основные понятия, касающиеся данной темы, решали задачи на применение различных формул. Но я думаю, что на сегодняшнем уроке вы узнаете еще немало интересных фактов, (рассказать план урока). А сейчас давайте немного вспомним.
Что называется многогранником?
Приведите примеры многогранников?
Что называется телом вращения?
Приведите примеры тел вращения.
Что является основными элементами любого многогранника? (вершины, ребра, грани).
Каким общим характерным свойством обладают все выпуклые многогранники?
(Сумма числа вершин и числа граней каждого многогранника на два больше числа его ребер, т.е. В+Г – Р = 2). Это предложение известно, как «теорема Эйлера».
Ребята, а сейчас я предлагаю вам совершить небольшую экскурсию в «Мир многогранников и тел вращения». А помогут нам в этом группа экскурсоводов. Пожалуйста, ребята. Вам слово.
"ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА" о многогранниках
В+Г-Р=2
2. Экскурсия.
1 экскурсовод . Всем хорошо известны такие тела как пирамида, конус, призма, цилиндр, шар и другие. А задумывались ли вы над тем, откуда произошло название этих фигур. Посмотрите, пожалуйста, на картину известного художника Шишкина «Корабельная роща», на которой изображены сосны. А сейчас обратите внимание на следующий рисунок (слайд №2). Здесь вы видите изображение конуса. А в руках у меня модель конуса. Вы скажите, а какая же связь между этой картиной и данным телом. Оказывается, самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель, которую я держу, называется конус, что в переводе с греческого языка означает «сосновая шишка». И, действительно, посмотрите, конус похож на шишку. эту «шишку» по-гречески называют «конос». Поэтому и тела такой формы получили название конуса.
А вообще, до Фалеса в Греции геометрией никто не занимался, поэтому у геометрических фигур не было названий. Греки стали называть фигуры словами, обозначавшими окружающие их предметы похожей формы. Например, для прокатки белья женщины применяли скалку, которую по-гречески называли «каландер», что в переводе означает «цилиндр». Поэтому все вытянутые тела с округлым сечением получили название цилиндра. Тело, изображенное на следующем рисунке, напоминает нам египетские пирамиды, поэтому такие тела и назвали пирамидами.
При этом в Египте основания пирамид были четырехугольные, а греки изучали и четырехугольные, и даже шестиугольные пирамиды.
А откуда получила свое имя «сфера?». По-гречески так называли мяч, в который играли дети (слайд №3).
2 экскурсовод. А сейчас обратите внимание на следующую группу многогранников (слайд №4): тетраэдр, куб, икосаэдр, октаэдр, додекаэдр. Как вы знаете, это правильные многогранники, которые также были известны ещё в Древней Греции и им посвящена 13 книга знаменитых «Начал» Евклида.
Учение о правильных многогранниках является венцом его «Начал». Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а затем доказывает. В 18 последнем предложении 13 книги, что кроме упомянутых пяти тел, кет других правильных многогранников.
Но, оказывается, правильными многогранниками занимался и Архимед (слайд №5), однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников, (архимедовых тел), каждый из которых ограничен не одноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел содержится между 8 и 92.
Древние греки специально изучали правильные многогранники, так как считали что формы этих тел присущи элементам первооснов бытия (слайд №6): а именно, огню – тетраэдр, земле – гексаэдр (куб), воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр или говорили еще так; что эти четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: огонь, землю, воду и воздух, А форму пятого многогранника, по мнению древних, имела вся Вселенная, то есть додекаэдр символизировал все мироздание.
И не зря, на репродукции картины Сальвадора Даля «Тайная вечерня» Христос со своими учениками изображены сидящими на фоне огромного прозрачного додекаэдра (слайд№7).
Заметили и то, что многие формы многогранников придумал не сам человек, их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы – природные многогранники. Например, горный хрусталь или кварц. Напоминает отточенный с двух сторон карандаш, т.е форму шестиугольной призмы, на основание которой поставлены шестиугольные пирамиды. Исландский шпат – имеет форму косого параллелепипеда.
Пирит (или сернистый колчедан) чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра.
В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859) (слайд №8), геометрические работы которого относятся к «звездчатым многогранникам» открыл существование правильных невыпуклых многогранников. Стали известны 4 типа таких фигур. В 1812г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует (слайд №9).
3 экскурсовод . А сейчас поговорим о формулах и об ученных, благодаря которым они появились. Мы изучили множество формул для вычисления объемов многогранников и круговых тел, для вычисления площадей их поверхностей. Но задумывались ли вы когда-нибудь над таким вопросом, а как давно появились эти формулы и кто первым их открыл? Оказывается, еще давно до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы, цилиндра) были известны.
Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евдокса и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамид, конуса, шара и других тел. Невозможно рассказать о вкладах каждого ученого, но нельзя не остановиться на одном из них – ученом и изобретателе Архимеде, который решил множество практических задач по математике и физике. За всю свою жизнь Архимед сделал так много, что обо всем не расскажешь. Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашел правила вычисления площадей и объемов различных тел. Среди всех задач была и такая «Найти отношение объёма шара, вставленного (вписанного) в цилиндр, к объему цилиндра».
Архимед определил, что объем вписанного цилиндра равен 2/3 объема цилиндра, а поверхность шара равна 2/3 поверхности цилиндра. Этому предложению Архимед придавал исключительное значение. Предание гласит, что Архимед высказал своим друзьям пожелание, чтобы после его смерти на его могильном холме вырезали чертеж к этой задаче, И еще об одном интересном факте я хочу рассказать. Архимед жил в небольшом городе Сиракузы, на острове Сицилия. Когда ему было около 70-ти лет, в 212 году до начала нашего летосчисления, его родной город осадили войска могущественного Рима и потребовали сдачи. Сиракузцы решили защищаться. Одним из руководителей обороны стал Архимед, под чьим руководством Сиракузцы почти год отбивались от многочисленных римских войск. Пользуясь своими знаниями о геометрии, Архимед, как говорят предания, построил громадные зеркала и с их помощью сжег римские корабли, а римские воины, увидев из-за крепостной стены веревку или бревно, с ужасом обращались в бегство с криком, что вот Архимед ещё выдумал новую машину на их погибель. Но римляне все - таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был Архимед. Предания говорят, что когда римский солдат уже замахнулся на Архимеда мечом, ученый крикнул «Не трогай мои чертежи». Желание Архимеда сбылось. На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром (слайд №10). Именно по этому чертежу 200 лет спустя нашли могилу ученого. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы. Памяти Архимеда посвящено множество стихотворений. Послушайте одно из них. (Стихотворение).
ПАМЯТИ АРХИМЕДА
Далеко от нашего Союза
И до нас за очень много лет
В трудный год родные Сиракузы
Защищал ученый Архимед.
Многие орудья обороны
Были сконструированы им,
Долго бился город непреклонный,
Мудростью ученого храним.
Но законы воинского счастья
До сих пор никем не учтены,
И втекают вражеские части
В темные пробоины стены.
Замыслом неведомым охвачен,
Он не знал, что в городе враги,
И в раздумье на земле горячей
Выводил какие-то круги.
Он чертил задумчивый, не гордый,
Позабыв текущие дела,
И внезапно непонятной хордой
Тень копья чертеж пересекла.
Но убийц спокойствием пугая,
Он, не унижаясь, не дрожа,
Руку протянул, оберегая
Не себя, а знаки чертежа.
Он в глаза солдатом глянул смело:
«Убивайте, римляне - враги!
Убивайте, раз такое дело,
Но не наступайте на круги!
Я хотел бы так пером трудиться,
Родине, отдав себя вполне,
Чтоб на поле боя иль в больнице
За себя не страшно было мне.
Чтобы у меня хватило духа
Вымолвить погибели своей:
«Лично - убивай меня, старуха,
Но на строчки наступать не смей!»
3. Эксперементальные опыты
Учитель: Ребята, я думаю, мы совершили благодаря экскурсоводам, интересную историю в далекое прошлое. Если кого-то заинтересовала биография Архимеда, более подробно вы сможете прочитать на страницах стенгазеты «Математика и жизнь» обратиться к литературе, которая имеется в библиотеке. (Выставка).
А сейчас давайте с вами посетим лабораторию, где группа исследователей занималась экспериментальным доказательством некоторых формул, связанных с многогранниками и телами вращения. Пожалуйста, ребята, вам слово.
1 ученик. В результате проделанной нами исследовательской pa6oты, мы смогли с помощью опытов доказать справедливость некоторых формул. Сейчас мы вам продемонстрируем это.
Опыт №1. (объем пирамиды)
С помощью этого опыта убедимся в том, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы. Для этого возьмем два сосуда: один – имеющий форму призмы, другой – пирамиды. Пирамида и призма имеют равные высоты (h) проведенные к основанию, и равные площади оснований. Сосуд – пирамиду наполнили водой, затем перельем воду из сосуда – пирамиды в сосуд – призму. Видим, что емкость сосуда – пирамиды в три раза меньше емкости сосуда-призмы, т. е V пир = 1/3V пр.
Итак, убедились, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы.
Опыт №2 . (Свойство пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты)
Мы знаем такое утверждение, что две (треугольные) пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики, т.е. имеют равные объемы.
Убедимся в этом с помощью следующего опыта.
Опыт.
В сосуд, имеющий узкую отводную трубку, нальем воды так, чтобы избыток её вытек через отверстие. Подставив под отверстие измерительный стакан, в сосуд погружаем одну из пирамид. Узнав при помощи измерительного стакана, объем воды, вытесненной пирамидой, одновременно узнаем и объем самой пирамиды. Проделав опыт с другой пирамидой, видим, что если пирамиды имеют равновеликие основания и равные высоты, то их объемы равны.
1 пирамида – четырехугольная, в основании которой квадрат со стороной 4 см, т.е. площадь основания равна 16 см.
2 пирамида – четырехугольная, в основании прямоугольник со сторонами 2 и 8 см.
(объем тела, погруженного в жидкость, равен объему вытесненной телом жидкости).
Опыт №3 . (площадь поверхности сферы)
Невозможно найти площадь поверхности сферы таким же образом, как находят площадь поверхности многогранника, т.е. с помощью её развертки в плоскость, поскольку никакую сферу нельзя развернуть в плоскость. Но можно использовать следующий опыт.
Возьмем модель полу-шара и закрепим в него два гвоздя: один в центре большого круга, другой - в вершине полу-шара. Прикрепим конец нити к гвоздику, находящемуся в вершине полу-шара и покроем нитью поверхность полу-шара, складывая её спиралью. Затем также покроем основание полу-шара – большой круг. Измерив длины использованных нитей, видим, что длина нити, затраченной на покрытии основания, т. е круга радиусом, приблизительно в 2 раза меньше длины нити, покрывающей поверхности полу-шара.
Отсюда вывод: площадь поверхности полу-шара равна 2, а площадь поверхности шара 4. Итак, площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πR 2 .
Учитель: Описанный опыт – один из древнейших. С его помощью люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.
Вывод: Опытное обоснование теоретических фактов рассматривается как средство осуществления связи преподавания геометрии с практикой.
4. Практическая работа.
А сейчас я вам предлагаю небольшую практическую работу.
Задание. У вас на столах находятся различные геометрические тела. Выберите себе любую фигуру, выполните необходимые измерения и вычислите объем данного тела, используя соответствующую формулу. (Рассказать, как вычисляли объем).
5.Решение задач из занимательной геометрии.
Задачи вам предложит следующая группа ребят. (слайд №11)
Задача №1
Две правильные призмы поспорили о том,
В какой из них побольше содержится объем.
Одна сказала: «Если все факторы учесть,-
Ведь я в два раза выше и граней целых шесть,-
То нечего и спорить, победа тут за мной...»
Другая отвечала: «Не торопись, постой!
Хоть граней пять имею и ростом не крупна,
Но в основание больше в 2 раза сторона».
До вечера поспорив, ни с чем домой ушли.
Кто прав был в этом споре А ну, определи?
(Решение задачи №1)
Вывод: Чтобы сравнить, нужно найти объемы.
Задача №2
Футбольный мяч напоминает многогранник с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники, а 12 – правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многогранника? (слайд №12)
Решение. В задаче речь идет об усеченном икосаэдре. Найдем общее число ребер этого многогранника. Так как он имеет 12 пятиугольных граней, то 5 12+620=180, т. е 2Р = 180, Р = 90. А по условию Г = 32, то по теореме Эйлера
В+Г - Р =2, т.е. В = Р - Г +2 = 90 - 32 +2=60
Теорема Эйлера : Сумма числа вершин и числа граней многогранника на 2 больше числа его ребер, т.е. В + Г - Р = 2
Утверждение: Число сторон всех граней равно удвоенному числу ребер,
т. к. каждое ребро принадлежит сразу двум граням, следовательно, при подсчете учитывается дважды. (слайд №13)
Задача №3
Имеется куча зерна пшеницы, которую нужно отправить на склад. Оцените объем зерна в куче. Как это сделать? (слайд №14)
Решение. По своей форме куча зерна заметно отличается от известных пространственных фигур, но отдаленно она напоминает круговой конус.
Объем конуса V = 1/3·S·h. Даже приняв, что куча зерна имеет форму конуса, нам сложно непосредственно измерить R и Н. Можно считать, что основанием конуса - модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром. Если она равна С, то R=C/2π. Высоту Н тоже неудобно замерить непосредственно, но легко с помощью шнура найти « перекидку». Р = А·В, тогда
Задача №4
А сейчас предлагаю вам послушать одну из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, о которой я сейчас расскажу, он был бы обескуражен лицемерию результата. (слайд №15)
Итак, в поэме АС Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана легенда восточных народов.
Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу,-
И гордый холм возвысился.
И царь мог с высоты с весельем озирать.
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.
Какой высоты мог быть такой холм? Ответив на этот вопрос, вы убедитесь в мизерности результата.
Решение. 1 горсть = 1/5л = 0,2 дм 3
Пусть войско из 100000 человек. Угол может быть только 45°(и меньше) иначе земля будет осыпаться. Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.
6 Тест.
Учащиеся получают индивидуальные пакеты с тестами, которые начинают выполнять в классе, дома заканчивают.
7 Итог урока.
Многогранники и тела вращения
В рамках УСП «Первые шаги в пространство»
Команда «Морские котики», г.Новокузнецк
"Морские котики"?
Морские котики не только милые, но ещё и очень умные. Они легко обучаемы. У котиков великолепная встроенная навигационная система. Несмотря на то, что это стайные животные, морские котики уходят на охоту в одиночку и вообще проявляют индивидуализм. Мы назвали себя этими животными, потому что мы хотим во многом быть похожими на них, быть смелыми и умными, ведь часто этих животных недооценивают.
Девиз команды:
Мы-морские котики, Активны и умны, Наш девиз всего три слова, Улыбаться это клево!
Стихи о геометрических фигурах
Есть на свете пирамида –
Удивительный объект,
Ее строили в Египте,
А вот как для всех секрет.
Вот хожу я по квартире и смотрю вокруг себя, И по всюду окружают тела вращения меня. На окне стоит игрушка в виде конуса она. А вот банка из-под чая форму цилиндра приняла.
Стоит на кухне холодильник По форме он параллелепипед. Как у квадрата у него Шесть граней на лицо, Однако есть отличия
У куба грани равные,
А у него противоположные.
Признаюсь вам призма, Ну очень капризна. Скажу без обмана Но так многогранна (автор Наталья У.)
А лучшая фигура-куб!
Поставлю я на кон свой зуб
И грани все и ребра в нем,
Прямо под прямым углом
Многогранники и тела вращения в объектах окружающего мира
Гипотеза: Во многих предметах окружающего мира, можно увидеть многогранники и тела вращения
Многогранник -
Геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Призма -
Многогранник, две грани которого n-угольники, а остальные грани - параллелограммы.
Параллелепипед -
Призма основаниями которой служат параллелограммы.
Куб -
Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все грани куба – равные квадраты.
Пирамида -
Многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Усеченная пирамида -
Многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.
Тела вращения -
Объемные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Цилиндр -
Фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.
Конус -
Фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси.
Вывод
В ходе исследования мы подтвердили свою гипотезу и убедились, что многие объекты окружающего нас мира имеют форму тел вращения и многогранников.
Гипотеза:
НЕ СУЩЕСТВУЕТ ГРАНИ МЕЖДУ МИРОМ ИСКУССТВА
И МИРОМ ГЕОМЕТРИИ.
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия»
на переднем плане
изобразил каменный многогранник .
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
"Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.
Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.
Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.
На картине «Гравитация» изображён додекаэдр , образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. На каждой из площадок живёт длинношеее четырёхногое бесхвостое фантастическое животное; его туловище находится в пирамиде, в отверстия которой оно высовывает конечности, верхушка пирамиды является одной из стен жилища соседнего чудовища .
На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.
Вывод:
ГИПОТЕЗА ДОКАЗАНА, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ, МНОГОГРАННИКИ ЯВЛЯЮТСЯ НЕОТЪЕМЛЕМОЙ ЧАСТЬЮ ГЕОМЕТРИИ. НА ПРИМЕРЕ РАБОТ ВЕЛИКИХ ХУДОЖНИКОВ МЫ ДОКАЗАЛИ, ЧТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ ГРАНИ МЕЖДУ ИСКУССТВОМ И ГЕОМЕТРИЕЙ.
Какой вклад вносит геометрия в развитие культуры человека?
Искусство - это особый способ познания и отражения действительности. Искусство развивает духовную культуру человека. Проанализировав работы великих художников мы без сомнений можем сказать, что не существует границы между миром искусства и миром геометрии. А значит геометрия так же развивает интеллектуальные, творческие способности человека, образное и пространственное мышление, поэтому данная наука является неотъемлемой частью культуры человека.
Ментальная карта «Многогранники и тела вращения в продукции предприятий моего города»
Где живет геометрия в Вашем городе?
Геометрия в Нашем городе живет по всюду!!! На какое архитектурное сооружение не посмотри, в нем обязательно присутствуют многогранники и тела вращения. Собранные вместе в одном сооружении они создают уникальные, неповторимые, гениальные здания!!!
Используемая литература:
- http://www.uzluga.ru/potrb/Многогранник+–+это+такое+тело,поверхность+которого+состоит+из+конечного+числа+плоских+многоугольниковb/part-5.html
- http://kamensky.perm.ru/proj/mng/01.htm
- http://www.liveinternet.ru/tags/%FD%F8%E5%F0/page3.html
- http://www.distedu.ru/mirror/_math/www.tmn.fio.ru/works/26x/304/d9_3.htm
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Эшер,_Мауриц_Корнелис
- http://www.propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/027.htm
- http://math4school.ru/mnogogranniki.html
Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.
Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии
Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.
Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:
- Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
- Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
- Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.
Многогранники можно условно разделить на:
- Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
- Невыпуклые многогранники (звёздчатые).
Призма и её свойства
Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:
- Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
- имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
- характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
- Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.
Основные свойства призмы:
- Конгруэнтные основания.
- Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
- Все боковые грани имеют форму параллелограмма.
Пирамида
Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.
Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:
- имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
- Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.
Свойства пирамиды:
- В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
- Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.
Правильный многогранник: виды и свойства многогранников
В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:
- Тетраэдр.
- Гексаэдр.
- Октаэдр.
- Додекаэдр.
- Икосаэдр.
Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.
Гексаэдр и его свойства
В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.
В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:
- Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
- Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
- Все межгранные углы равны 90.
- Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
- Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.
Тетраэдр
Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.
Свойства правильного тетраэдра:
- Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
- Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
- Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
- Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.
Октаэдр и его свойства
Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.
Свойства октаэдра:
- Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
- Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.
Додекаэдр
Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.
Свойства додекаэдра:
- В каждой вершине пересекаются по три грани.
- Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
- У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.
Икосаэдр
Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:
- Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
- В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
- Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.
Полуправильные многоугольники
Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:
- Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
- Все углы одной вершины конгруэнтны.
Звёздчатые многогранники
Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.
Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.
