Последние новости науки
Приз в 1 миллион долларов за решение каждой из семи математических проблем
(по материалам сайта http://www.claymath.org./prize_problems/index.htm)
CMI — The Clay Mathematics Institute (Кембридж, Штат Массачусетс) — назвал семь нерешенных математических проблем — «Millennium Prize Problems», за решение каждой из которых будет выплачен $1 млн. К рассмотрению принимаются решения, которые были опубликованы в известном математическом журнале, причем не ранее, чем через 2 года после публикации (для всестороннего рассмотрения математическим сообществом).
Перечислим эти проблемы:
Проблема Кука
(сформулирована в 1971г.).
Допустим, находясь в большой
компании, Вы хотите убедиться, что там же находится Ваш знакомый. Если
Вам скажут, что он сидит в углу, то Вам достаточно доли секунды, чтобы,
бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствии этой
информации Вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.
Точно так же, если кто-то сообщит
Вам, что число 13717421 можно представить, как произведение двух
меньших чисел, непросто быстро убедиться в истинности информации, но
если Вам сообщат, что исходное число можно разложить на множители 3607
и 3803, то это утверждение легко проверяется с помощью калькулятора.
Это примеры иллюстрируют общее
явление: решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем
проверка правильности решения. Стивен Кук сформулировал проблему: может
ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само
получение решения, независимо от алгоритма проверки.
Эта проблема является одной из
нерешенных проблем логики и информатики. Ее решение могло бы
революционным образом изменить основы криптографии, используемой при
передаче и хранении данных.
Гипотеза Римана
(сформулирована в 1859г.).
Некоторые целые числа не могут
быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например, 2,
3, 5, 7, и т.д. Такие числа называются простыми числами, и они играют
важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых
чисел среди всех натуральных чисел не подчиняется никакой
закономерности, однако немецкий математик Риман (1826-1866) обнаружил,
что число простых чисел, не превосходящих , выражается через
распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Риман высказал
гипотезу, не доказанную и не опровергнутую до сих пор, что все
нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой линии. На сегодняшний
день проверены первые 1500000000 решений.
Гипотеза Берча и
Свиннертон-Дайера.
Математики давно заворожены
проблемой описания всех решений в целых числах , ,
алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких
переменных с целыми коэффициентами. Примером алгебраического уравнения
является уравнение . Евклид дал полное
описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений
получение решения становится чрезвычайно трудным (например,
доказательство отсутствия целых решений уравнения ).
В 1970 г. Юрий Владимирович
Матиясевич дал отрицательное решение десятой проблемы Гильберта, т.е.
не имеется никакого алгоритма, с помощью которого можно было бы узнать,
разрешимо уравнение в целых числах или нет. Но в частном случае, когда
решения образуют абелево многообразие, Берч и Свиннертон-Дайер
предположили, что число решений определяется значением связанной с
уравнением дзета-функции в точке 1: если значение дзета-функции в точке
1 равно 0, то имеется бесконечное число решений, и наоборот, если не
равно 0, то имеется только конечное число таких решений.
Гипотеза Ходжа.
В двадцатом веке математики
изобрели мощные методы исследования формы сложных объектов. Основная
идея состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем
аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела
возрастающей размерности. Этот метод оказался эффективным при описании
разнообразных объектов встречающихся в математике. К сожалению, при
этом были не ясны геометрические обоснования метода: в некоторых
случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого
геометрического истолкования.
Гипотеза Ходжа состоит в том, что
для особенно хороших типов пространств, называемых проективными
алгебраическими многообразиями, т.н. циклы Ходжа являются комбинациями
объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических
циклов.
Уравнения Навье-Стокса.
Если плыть в лодке по озеру, то
возникнут волны, а если лететь в самолете — в воздухе возникнут
турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления
описываются уравнениями, известными как уравнения Навье-Стокса. Решения
этих уравнений не известны, и при этом даже не известно, как их решать.
Необходимо показать, что решение существует и является достаточно
гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить
способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.
Проблема Пуанкаре.
Если натянуть резиновую ленту на
яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности,
сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту
соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом
невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик.
Говорят, что поверхность яблока «односвязна», а поверхность
бублика — нет. Пуанкаре почти сто лет назад знал, что в двумерном
случае односвязна только сфера, и задался аналогичным вопросом для
трехмерной сферы — множества точек в четырехмерном пространстве,
равноудаленных от некоторой точки. Доказать, что односвязна только
сфера, оказалось настолько трудно, что математики до сих пор ищут
ответ.
Уравнения Янга-Миллса.
Уравнения квантовой физики
описывают мир элементарных частиц. Почти пятьдесят лет назад, физики
Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных
частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению
теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из
уравнений Янга-Миллса следовало существование частиц, которые
действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, включая
Brookhaven, Stanford, и CERN. Поэтому калибровочная теория Янга-Миллса
принята большинством физиков, несмотря на то, что в рамках этой теории
до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
Витебский М.
Миллион долларов за дырку от бублика
Ученые считают, что 38-летний российский математик Григорий Перельман предложил верное решение проблемы Пуанкаре. Об этом на научном фестивале в Эксетере (Великобритания) заявил профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин.
Про-б-ле-ма (ее так-же на-зы-ва-ют за-да-чей или ги-по-те-зой) Пу-ан-ка-ре от-но-сит-ся к чи-с-лу се-ми ва-ж-ней-ших ма-те-ма-ти-че-с-ких про-б-лем, за ре-ше-ние ка-ж-дой из ко-то-рых на-зна-чил пре-мию в один мил-ли-он дол-ла-ров. Имен-но это и при-вле-к-ло столь ши-ро-кое вни-ма-ние к ре-зуль-та-там, по-лу-чен-ным Гри-го-ри-ем Пе-рель-ма-ном , со-т-руд-ни-ком ла-бо-ра-то-рии ма-те-ма-ти-че-с-кой фи-зи-ки Санкт-Пе-тер-бург-ско-го от-де-ле-ния Ма-те-ма-ти-че-с-ко-го ин-сти-ту-та име-ни Сте-к-ло-ва .
Ученые всего мира узнали о достижениях Перельмана из двух препринтов (статей, предваряющих полноценную научную публикацию), размещенных автором в ноябре 2002-го и марте 2003 года на сайте архива предварительных работ Лос-Аламосской научной лаборатории .
Согласно правилам, принятым Научным консультативным советом института Клэя, новая гипотеза должна быть опубликована в специализированном журнале, имеющем "международную репутацию". Кроме того, по правилам Института, решение о выплате приза принимает, в конечном счёте, "математическое сообщество": доказательство не должно быть опровергнуто в течение двух лет после публикации. Проверкой каждого доказательства занимаются математики в разных странах мира.
Проблема Пуанкаре
 |
| ЖЮЛЬ АНРИ ПУАНКАРЕ. Фото с сайта www.krugosvet.ru |
Проблема Пуанкаре относится к области так называемой топологии многообразий - особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность. Двухмерные многообразия можно наглядно представить себе, например, на примере поверхности трехмерных тел - сферы (поверхности шара) или тора (поверхности бублика).
Легко вообразить, что произойдет с воздушным шариком, если его деформировать (изгибать, скручивать, тянуть, сжимать, пережимать, сдувать или надувать). Ясно, что при всех вышеперечисленных деформациях шарик будет изменять свою форму в широких пределах. Однако мы никогда не сможем превратить шарик в бублик (или наоборот) без нарушения непрерывности его поверхности, то есть не разрывая. В этом случае топологи говорят, что сфера (шарик) негомеоморфна тору (бублику). Это означает, что данные поверхности невозможно отобразить одну на другую. Говоря простым языком, сфера и тор различны по своим топологическим свойствам. А поверхность воздушного шарика при всевозможных его деформациях гомеоморфна сфере, равно как поверхность спасательного круга - тору. Иными словами, любая замкнутая двумерная поверхность, не имеющая сквозных отверстий, обладает теми же топологическими свойствами, что и двухмерная сфера.
Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в XIX веке). Как заметил французский математик, одно из важнейших свойств двухмерной сферы состоит в том, что любая замкнутая петля (например, лассо), лежащая на ней, может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Для тора это справедливо не всегда: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли. В 1904 году Пуанкаре высказал предположение, что если петля может стягиваться в точку на замкнутой трехмерной поверхности, то такая поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы оказалось чрезвычайно сложной задачей.
Сразу уточним: упомянутая нами формулировка проблемы Пуанкаре говорит вовсе не о трехмерном шаре, который мы можем представить себе без особого труда, а о трехмерной сфере, то есть о поверхности четырехмерного шара, который представить себе уже гораздо труднее. Но в конце 1950-х годов неожиданно выяснилось, что с многообразиями высоких размерностей работать гораздо легче, чем с трех- и четырехмерными. Очевидно, отсутствие наглядности - далеко не главная трудность, с которой сталкиваются математики в своих исследованиях.
Задача, подобная проблеме Пуанкаре, для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом (Stephen Smale), Джоном Стэллингсом (John Stallings) и Эндрю Уоллесом (Andrew Wallace). Подходы, использованные этими учеными, оказались, однако, неприменимы к четырехмерным многообразиям. Для них проблема Пуанкаре была доказана лишь в 1981 году Майклом Фридманом (Michael Freedman). Трехмерный же случай оказался самым сложным; его решение и предлагает Григорий Перельман.
Необходимо отметить, что у Перельмана есть соперник. В апреле 2002 года профессор математики британского университета Саутгемптон Мартин Данвуди предложил свой метод решения проблемы Пуанкаре и теперь ожидает вердикт от института Клэя.
Специалисты считают, что решение проблемы Пуанкаре позволит сделать серьезный шаг в математическом описании физических процессов в сложных трехмерных объектах и даст новый импульс развитию компьютерной топологии. Метод, который предлагает Григорий Перельман, приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии. Петербургский математик вполне может претендовать на премию Филдса (аналог Нобелевской премии, которую по математике не присуждают).
Между тем, некоторые находят поведение Григория Перельмана странным. Вот что пишет британская газета "Гардиан": "Скорее всего, подход Перельмана к разгадке проблемы Пуанкаре верный. Но не все так просто. Перельман не предоставляет доказательств того, что работа издана в качестве полноценной научной публикации (препринты таковой не считаются). А это необходимо, если человек хочет получить награду от института Клэя. Кроме того, он вообще не проявляет интереса к деньгам".
Видимо, для Григория Перельмана, как для настоящего ученого, деньги - не главное. За решение любой из так называемых "задач тысячелетия" истинный математик продаст душу дьяволу.
Список тысячелетия
 |
| ДЭВИД ГИЛБЕРТ. Фото с сайта www.krugosvet.ru |
8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма , с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.
По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:
1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.
2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)
Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x 2 + y 2 = z 2 . Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.
4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.
5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)
Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.
6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)
 |
| ПРОФЕССОР МАРТИН ДАНВУДИ, ТАКЖЕ ПРЕДЛО-ЖИВ-ШИЙ РЕШЕНИЕ ПРОБ-ЛЕ-МЫ ПУАНКАРЕ. Фото с сайта www.maths.soton.ac.uk |
Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.
7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
Михаил Витебский
http://vip.lenta.ru/news/2004/09/12/poincare/
Витебский М. Миллион долларов за дырку от бублика // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11516, 17.09.2004
Для этого надо всего лишь сесть, подумать и решить одну из математических «проблем тысячелетия».
7Х7
С прошлого столетия количество таких проблем уменьшилось почти в четыре раза. Когда известный немецкий математик Дэвид Гилберт в самом начале XX века выступил на международном математическом конгрессе в Париже, составленный им список математических и логических задач, которые необходимо было решить в ближайшие сто лет, насчитывал 23 позиции. Плюс еще три проблемы, с которых речь была начата, и которые, будучи уже упомянутыми, не вошли в основной список. Настолько они казались Гилберту само собой разумеющимися.
Всего к концу века было полностью решено 20 проблем. Первой из представленных и последней из решенных стала великая теорема Ферма. Две из оставшихся задач были решены частично, две открыты до сих пор, одна — о математическом описании физических аксиом — признана нематематической, и одна — о прямой, как кратчайшем соединении двух точек, — объявлена слишком расплывчатой, из-за чего невозможно было понять, решена она или нет. Что интересно: все 20 задач были решены совершенно бесплатно. Решение задач Гилберта никакого вознаграждения, кроме вечной научной славы и глубокого научного же удовлетворения, не подразумевало.
Новый список, составленный уже в начале этого века, мировых математических проблем насчитывал всего семь. В отличие от гилбертовского, в нынешнем списке, названном Millennium Prize Problems («Призовые проблемы тысячелетия») за решение каждой из них Математическим институтом Клэя (Clay Mathematics Institute) (Кембридж, Массачусетс, США) была назначена премия в $1 млн. Вернее сказать, наоборот: проблем было выбрано именно семь по числу выделенных на их решение миллионов.
| Для справки | |
|---|---|
| Если натянуть на мячик эластичную ленту, то, постепенно стягивая ее, не разрывая и нигде не отрывая от поверхности, можно собрать ее в одну точку. Если же вы натянете такую ленту на бублик, по внешней или внутренней стороне, такой же трюк у вас уже не пройдет. Очень грубо «проблему Пуанкаре» можно сформулировать так: если с некоего предмета можно, как и с мяча, стянуть, не отрывая от поверхности и не разрывая, любую произвольно натянутую эластичную ленту, то у этого предмета нет отверстий. «Проблемой» это утверждение называлось потому, что с момента постановки французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре в 1904 году его никто не мог доказать. Между тем, хотя конкретное применение для этого утверждения найти пока сложно, для теоретической математики, в особенности для топологии (раздела математики, изучающего пространственные преобразования), оно очень важно. А пока не было конкретного доказательства, относиться к утверждению следовало весьма осторожным: а что, вдруг Пуанкаре ошибся? Теперь же доверять ему можно смело. | |
Антитеза
Первый Клэйевский миллион был присужден 18 марта 2010 года 43-летнему российскому математику, сотруднику Санкт-Петербургского отделения Математического института имени Стеклова, Григорию Перельману , решившему так называемую «проблему Пуанкаре».
Считается, что одна из причин, по которой этот питерский математик, которого британская газета The Daily Telegraph поставила на 9 место в списке ста ныне живущих гениев, отказывается общаться с российскими журналистами, — их вопиющая фамильярность и некомпетентность. И это правда. Сплошь и рядом Григория Яковлевича в статьях величают даже не Григорием, а Гришей, а его отцом называют великого популяризатора науки, . При этом авторы статей не удосуживаются даже открыть энциклопедию и выяснить, что Яков Исидорович умер от голода в блокадном Лененграде в 1942 году, а Григорий Яковлевич родился только в 1966, спустя 24 года.
Мальчик еще в школе проявлял немалые способности, и не только в математике, но и в музыке. В дополнение к обычной он ходил еще в музыкальную школу, где занимался скрипкой, и в математический центр при Дворце пионеров. Уже в старших классах перевелся в специализированную физико-математическую школу, которую и закончил с серебряной медалью. Получить золотую помешала слабая физическая подготовка: будущий математический гений как ни старался, так и не смог сдать нормы ГТО.
После школы перед ним, как перед медалистом, встал тяжелый выбор, куда идти без экзаменов — в Консерваторию или на матмех ЛГУ. Победила страсть к математике. Университет он окончил с отличием. В 1990 году Григорий Яковлевич защитил кандидатскую диссертацию и уехал работать в США, откуда вернулся спустя шесть лет. Тогда же ему присудили премию Европейского математического общества для молодых математиков, однако Григорий Яковлевич отказался ее получать. Работал ведущим научным сотрудником лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ), но в 2005 году уволился и почти полностью прервал контакты с внешним миром. А год спустя ему, за решение одной из «Призовых проблем», а именно «проблемы Пуанкаре», была присуждена главная премия среди математиков — «Медаль Филдса» (денежный эквивалент — 15 000 канадских долларов, по сегодняшнему курсу — 432 000 рублей).
Но Перельман отказался и от «Медали Филдса». Два года эксперты проверяли верность его решения. И только в 2010 году ученый совет института Клэя объявил, что ошибок и подтасовок не найдено, и российский математик может приезжать за деньгами. Однако Перельман объявил, что не собирается лететь в Кембридж. От прочих вариантов передачи миллиона долларов он тоже отказался. В одном из немногочисленных интервью он так объяснил свой поступок:
— Я отказался. Вы знаете, у меня было очень много причин и в ту, и в другую сторону. Поэтому я так долго решал. Если говорить совсем коротко, то главная причина — это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой.
А совсем недавно, в еще одном интервью, Григорий Яковлевич признался:
— Я научился вычислять пустоты, вместе с моими коллегами мы познаем механизмы заполнения социальных и экономических «пустот». Пустоты есть везде. Их можно вычислять, и это дает большие возможности... Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите — зачем же мне бежать за миллионом?!
Что в остатке
Как бы там ни было, один миллион уже ушел. Но осталось еще шесть. За что еще их можно получить?
Гипотеза Берча и Свинертон-Дайера
«Философским камнем» математики можно назвать уравнения вида x n +y n +z n +.....=t n . Самое простое, — x 2 +y 2 =z 2 (например 3 2 +4 2 =5 2), — полностью исследовал еще за 300 лет до рождества Христова Евклид. Самое знаменитое из подобных уравнений стало основой для теоремы Ферма. А одно из самых больших решений (в докомпьютерную эпоху) предложил в 1769 году Эйлер. Ему удалось соорудить следующее равенство: 2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734. Универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Однако известно, что у каждого из них может быть либо конечное, либо бесконечное число решений. Математики Берч и Свинертон-Дайер в 1960 году создали метод, по которому каждое такое уравнение можно свести к более простому, называемому дзета-функцией. По их выведенному экспериментальным путем, но теоретически не доказанному предположению, если эта функция в точке 1 будет равна 0, то количество решений искомого уравнения будет бесконечным. В противном случае, их либо вообще не будет, как в случае с теоремой Ферма, либо их будет какое-то ограниченное количество. Ни доказать, ни опровергнуть это утверждение пока никто не смог.
Гипотеза Ходжа
Исследовать объект тем сложнее, чем сложнее он устроен. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить его на объекты более простые, работать с которыми, как понятно, проще. Проблема в том, что просто разложить объект на составляющие получается далеко не всегда. Иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что из себя представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Проще говоря, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, что собой представляет составленный из них дом, как он выглядит, и по каким правилам его строят. Для этого нужно, как минимум, изучить еще и заключенное между ними пустое пространство комнат. Профессор Кембриджа Вильям Ходж в своих трудах в 1941 году описал условия, при которых, как ему кажется, такие непонятные «лишние» части не могут возникать и в которых любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение, составив его математическую модель. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть его ученые не могут уже 70 лет.
Уравнения Навье-Стокса
Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны. Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки — подобные волнам воздушные завихрения. Все эти явления описываются созданными еще в 1822 году уравнениями Навье-Стокса. Несмотря на то, что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только методом НТ («научного тыка»): подставляя уже известные значения скорости, времени, давления, плотности и так далее и проверяя, подходят ли они друг к другу. Если кто-нибудь найдет метод решения, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя из равенства все необходимые параметры. Это сделает ненужными аэродинамические испытания. Впрочем, премию математик получит и в том случае, если докажет, что метода решения нет.
Проблема Решения-Проверки (Проблема Кука-Левина)
Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад, он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно тоже происходит при решении любой задачи. Все мы прекрасно понимаем, что на проверку какого-нибудь решения времени уходит обычно меньше, чем на само решение. Понимать-то понимаем, а доказать сей простой и, казалось бы, логичный факт, как оказалось, не можем. А поэтому, если вам удастся найти такую задачу, проверка правильности решения которой, независимо от способа проверки, будет занимать времени больше, чем само решение — срочно связывайтесь с институтом Клэя, и через два года вы станете обладателем миллиона долларов. Решение сформулированной в 1971 году «проблемы Кука», по словам ученых, приведет к настоящей революции в области криптографии и к появлению систем шифрования, которые просто невозможно будет взломать. Очень грубо: появятся шифры, проверка правильности взлома которых будет происходить бесконечно долго.
Гипотеза Римана
Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить ни на что-то более мелкое, чем они сами: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Такие числа называются «простыми» и они для математиков крайне важны. Как они распределяются по числовому ряду — пока известно одному Богу. Риман в 1859 году даже не предложил способ их поиска или проверки. Проверить, является ли число «простым» или нет, можно только попробовав разделить его на все меньшие числа (самое большое из известных на сегодняшний день «простых» было найдено в августе 2008 года и состоит из 12 978 189 цифр). Он просто нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами «простых». Сбоев пока найдено не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на полтора триллиона первой проверке. А, поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гилберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных — в сотовых сетях, в сети Интернет и так далее, — ее доказательство имеет весьма практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.
Уравнения Янга-Миллса
Свои квантовые уравнения американские физики Чжэнь-Нин Янг и Роберт Миллс составили в 1954 году, наблюдая за движением элементарных частиц. Выведенные почти на чистой интуиции они, тем не менее, замечательно описывают почти все виды их взаимодействий. С помощью уравнений даже было предсказано открытие новых частиц, которые потом были действительно найдены физиками-ядерщиками крупнейших мировых лабораторий — Brookhaven, Stanford и CERN. Правда, с помощью теории Янга-Миллса невозможно правильно предсказать массу частиц, однако, несмотря на это, уравнениями смело пользуются почти все ядерщики мира. Хотя до сих пор непонятно, как они работают и, вообще, так ли уж они верны. Из всех вышеперечисленных уравнений эти — наиболее сложные, поэтому мы их приводить не будем. Но, если вам не хватит пяти миллионов, которые можно получить за решение предыдущих пяти проблем, никто вам не запретит постараться решить еще и эту. Дерзайте — и обрящете.
А может, подождать?
Фамилию Перельмана сейчас помнит весь цивилизованный мир. А вот кто такой Эндрю Уайлс знают лишь специалисты. Но ведь это именно он в 1995 году исполнил многовековую мечту математиков — доказал сформулированную еще в 1637 году Великую теорему Ферма. За ее решение в 1908 году тоже была объявлена специальная премия в 100 000 немецких марок, что для начала прошлого века было чрезвычайно много. Однако две мировых войны и связанная с ними инфляция весьма сильно ее урезали. Настолько, что математик получил за свой труд чисто символическую сумму, примерно эквивалентную 15 долларам. А подождал бы Уайлс с публикацией своего доказательства лет 6-7, теорему Ферма обязательно включили бы в «Призовые проблемы тысячелетия» и оценили бы в миллион. И тогда математик стал бы очень богатым. Или очень знаменитым. Как Григорий Перельман.
Лист Мёбиуса иногда ошибочно называют лентой. Это неправильно потому, что лента должна быть ограничена двумя кривыми, или краями. Как нетрудно убедиться, у листа Мёбиуса не только одна сторона, у него и всего одна кромка. По этой кромке его можно вклеить в сферу, если в ней прорезать отверстие. Поверхность, которая получится в итоге, называют проективной плоскостью. Она не только двухмерная, как и поверхность сферы или тора, но и односторонняя, как поверхность листа Мёбиуса. Вдобавок к этому ее нельзя вложить в обычное трехмерное пространство, а потому и представить ее себе выше человеческих сил. Фото (Creative Commons license): Dave Gough |
Сколько уже говорено про то, что российские ученые , при всей их квалификации, получают нищенские зарплаты. Тем не менее именно ученые, в отличие от различных топ-менеджеров, поп-звезд и супер-спортсменов, способны буквально в одночасье заработать миллион долларов. Для этого надо всего лишь сесть, подумать и решить одну из математических «проблем тысячелетия».
Почем проблема
По сравнению с прошлым столетием количество таких проблем сократилось почти в четыре раза. Когда в самом начале XX века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт (David Hilbert , 1862-1943) выступил на международном математическом конгрессе в Париже , представленный им список математических и логических задач, которые предстояло решить в ближайшие сто лет, насчитывал 23 позиции. Плюс еще три проблемы, с которых он начал свою речь и которые, будучи уже упомянутыми, не вошли в основной список. Настолько они казались Гильберту само собой разумеющимися. А одна из самых красивых — задача о равносоставленности многогранников одинакового объема — была решена за несколько лет до того, как Гильберт ее поставил.
Первой из упомянутых им и последней из решенных проблем (всего к концу века двадцать из них было решено полностью) стало доказательство знаменитой Великой теоремы Ферма (Fermat’s Last Theorem). Две из оставшихся проблем были решены частично, две открыты до сих пор, одна, о математическом описании физических аксиом, признана нематематической, и одна, о прямой как кратчайшем соединении двух точек, была объявлена слишком расплывчатой, из-за чего невозможно было понять, решена она или нет.
Новый список проблем, составленный уже в начале этого века, насчитывает всего семь задач. Коренное отличие нынешнего списка, названного «Задачи тысячелетия» (Millennium Prize Problems), состоит в том, что за решение каждой из них частный некоммерческий фонд, основанный в 1998 году в американском Кембридже бостонским бизнесменом Лэндоном Клеем (Landon T. Clay), назначил премию в 1 млн. Вернее сказать, наоборот: проблем было выбрано именно семь по числу выделенных на их решение миллионов. Решение проблем Гильберта никакого вознаграждения, кроме вечной научной славы и глубокого научного же удовлетворения, не подразумевало.
Что значит материальный стимул
Первый миллион Клея был присужден 18 марта 43-летнему российскому математику, в недавнем прошлом сотруднику Григорию Яковлевичу Перельману, доказавшему справедливость так называемой гипотезы Пуанкаре (Poincaré Conjecture).
Если натянуть на мячик эластичную ленту, то, постепенно стягивая ее, не разрывая и нигде не отрывая от поверхности, можно собрать ее в одну точку. Про нее тогда говорят, что она «гомотопна нулю». Если же вы натянете такую ленту на бублик, такой же трюк уже может и не пройти: не всякая кривая на бублике будет гомотопна нулю.
Судьба оставшихся миллионов
Гипотеза Берча и Свинертон-Дайера
Уравнения вида x n + y n + z n + … = t n на множестве целых чисел привлекали внимание математиков с античных времен. Решения самого простого из них x 2 + y 2 = z 2 (например, знаменитых «египетский треугольник» — 3 2 + 4 2 = 5 2) было известно еще в Вавилоне, а полностью его исследовал еще в III веке н. э. александрийский математик Диофант (Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, Diophantus, III век н.э.). Именно на полях его «Арифметики» написал формулировку своей знаменитой теоремы Пьер Ферма (Pierre de Fermat , 1601 или 1607/8-1665). А одно из самых больших решений (в докомпьютерную эпоху) предложил в 1769 году Леонард Эйлер (1707-1783). Ему удалось соорудить следующее равенство: 2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Однако еще во времена долгих безуспешных попыток доказать теорему Ферма стало известно об их связи с простыми числами, а потом и с некоторыми классами плоских кривых. Корни диофантовых уравнений, простые числа и точки пересечения плоских кривых описываются с помощью некоторых специальных функций — например, дзета-функции Римана или ее обобщения, L -функции Гассе-Вейля . Математики Берч (Bryan John Birch) и Свинертон-Дайер (Sir Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer) в 1960 году, экспериментируя на компьютере с некоторыми известными кривыми, обнаружили для них довольно простое поведение L -функции вблизи нулей. Тогда они предположили, что это свойство будет сохраняться для любых кривых. Ни доказать, ни опровергнуть это предположение пока никто не смог. Если считаете, что доказать это вам не под силу, найдите пример, при котором свойство не сработает, и можете считать, что миллион у вас в кармане. Ведь для его получения вполне достаточно и опровергнуть гипотезу даже простым частным случаем.
Гипотеза Ходжа
Исследовать сложный объект тем сложнее, чем сложнее он устроен. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить его на объекты более простые, работать с которыми, как понятно, проще. Проблема в том, что просто разложить объект на составляющие получается далеко не всегда. Иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что из себя представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Проще говоря, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, что собой представляет составленный из них дом, как он выглядит и по каким правилам его строят. Для этого нужно, как минимум, изучить еще и заключенное между ними пустое пространство комнат. Профессор Кембриджа Вильям Ходж (William Vallance Douglas Hodge , 1903-1975) в своих трудах в 1941 году описал условия, при которых, как ему кажется, такие непонятные «лишние» части не могут возникать и в которых любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение, составив его математическую модель. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть его ученые не могут уже почти 70 лет.
Уравнения Навье-Стокса
Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны . Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки — подобные волнам воздушные завихрения. Все эти явления описываются созданными еще в 1822 году уравнениями Навье-Стокса. Несмотря на то что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только методом НТ («научного тыка»): подставляя уже известные значения скорости, времени, давления, плотности и так далее и проверяя, подходят ли они друг к другу. Если кто-нибудь найдет метод решения, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя из равенства все необходимые параметры. Это сделает ненужными аэродинамические испытания. Впрочем, премию математик получит и в том случае, если докажет, что метода решения нет.
Проблема Решения-Проверки (Проблема Кука-Левина)
Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад , он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно то же происходит при решении любой задачи. Все мы прекрасно понимаем, что на проверку какого-нибудь решения времени уходит обычно меньше, чем на само решение. Понимать-то понимаем, а доказать сей простой и, казалось бы, логичный факт, как оказалось, не можем. А поэтому, если вам удастся найти такую задачу, проверка правильности решения которой, независимо от способа проверки, будет занимать времени больше, чем само решение — срочно связывайтесь с институтом Клея, и через два года вы станете обладателем миллиона долларов. Решение сформулированной в 1971 году «проблемы Кука», по словам ученых, приведет к настоящей революции в области криптографии и к появлению систем шифрования, которые просто невозможно будет взломать. Очень грубо: появятся шифры, проверка правильности взлома которых будет происходить бесконечно долго.
Гипотеза Римана
Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить ни на что более мелкое, чем они сами: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Такие числа называются «простыми», и они для математиков крайне важны. Как они распределяются по числовому ряду — пока известно одному Богу. Риман в 1859 году даже не предложил способ их поиска или проверки. Проверить, является ли число простым или нет, можно только попробовав разделить его на все меньшие его простые числа (самое большое из известных на сегодняшний день простых было найдено в августе 2008 года и состоит из 12 978 189 цифр). Он просто нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами «простых». Сбоев пока найдено не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на полтора триллиона первой проверке. А поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гильберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных в сотовых сетях, в сети Интернет и так далее, ее доказательство имеет весьма практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.
Уравнения Янга-Миллса
Свои квантовые уравнения американские физики Чжэнь-нин Янг (Chen-Ning Franklin Yang) и Роберт Миллс (Robert L. Mills, 1927-1999) составили в 1954 году, исходя из самых общих представлений о симметрии элементарных частиц . Несмотря на формальность подхода, уравнения замечательно описывают почти все известные виды взаимодействий — сильное, слабое и электромагнитное. С помощью уравнений даже было предсказано открытие новых частиц, которые потом были действительно найдены в экспериментах, проведенных в крупнейших лабораториях мира — Brookhaven, Stanford и CERN. Но при этом до сих пор непонятно, как они работают и, вообще, так ли уж они верны. Из всех вышеперечисленных уравнений эти — наиболее сложные, поэтому мы их приводить не будем. Но если вам не хватит пяти миллионов, которые можно получить за решение предыдущих пяти проблем, никто вам не запретит постараться решить еще и эту. Дерзайте и обрящете.
Новости партнёров
Семь проблем тысячелетия
Template 1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 г.)
Допустим, находясь в большой компании, вы хотите убедиться, что там же
находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то вам
достаточно доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности
информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю
комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо
задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности
решения задачи быть более длительной, чем само получение решения,
независимо от алгоритма проверки. Эта проблема является одной из
нерешенных проблем логики и информатики. Ее решение могло бы
революционным образом изменить основы криптографии, используемой при
передаче и хранении данных.
2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 г.)
Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух
меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и т. д. Такие числа называются
простыми числами, и они играют важную роль в чистой математике и ее
приложениях. Распределение простых чисел среди всех натуральных чисел не
подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман
сделал предположение, касающееся свойств последовательности простых
чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к
революционному изменению наших знаний в области шифрования и к
невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 г.)
Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений
от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером
алгебраического уравнения является уравнение x2 + y2 = z2. Евклид дал
полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений
получение решения становится чрезвычайно трудным.
4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 г.)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных
объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо
самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и
образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми
предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.
5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 г.)
Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в
самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что
эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения
Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже
неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и
является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит
существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических
расчетов.
6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 г.)
Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая
ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны,
если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг
бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая
ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а
поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера,
оказалось настолько трудно, что математики до сих пор ищут ответ.
7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 г.)
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг
и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц,
написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий
электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга
- Миллса следовало существование частиц, которые действительно
наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса
принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до
сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
|
Last Update: 05/10/2019 02:40 +0300
  
|
