1. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным (неколлинеарным) векторам

Указание: 1способ . Возьмем произвольную точку плоскости M (x, y, z). Векторы будут компланарны, так как они расположены в параллельных плоскостях. Следовательно, их смешанное произведение
Записывая это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости:

Вычислять этот определитель удобнее разложением по первой строке.

2 способ . Векторы
параллельны искомой плоскости. Следовательно, вектор, равный векторному произведению векторов
перпендикулярен этой плоскости, т.е.
и
. Векторявляется нормальным вектором плоскости. Если
и
, то вектор находится по формуле:

Уравнение плоскости находим по точке
и нормальному вектору

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору
.(
неколлинеарны).

Указание: 1 способ. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы и
располагаются в параллельных плоскостяхи, следовательно, компланарны, т.е. их смешанное произведение
Записав это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости .

2 способ . Вектор нормали к искомой плоскости будет равен векторному произведению векторов
, т.е.
или в координатах:

Уравнение искомой плоскости найдется по нормальному векторуи точке
(или точке
)по формуле (2.1.1)

(см. пример 1 пункт 2.2).

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0.

Указание: Нормальный вектор найдем из общего уравнения данной плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Векторперпендику-лярен данной плоскости, следовательно, он перпендикулярен любой плоскости, параллельной ей. Векторможно взять за нормальный вектор искомой плоскости. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1 пункт 2.2).

Ответ:

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y – 2z + 1 =0 и

x + y + z – 5 = 0.

Указание: 1 способ. Перпендикулярные каждый своей плоскости векторы (координаты векторов найдены из общих уравнений плоскостей, формула (2.2.1)) перпендикулярны линии их пересечения и, следовательно, параллельны искомой плоскости. Искомая плоскость проходит через точку
параллельно двум векторам
(см. задачу 1 пункт 5).

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

Раскрывая определитель третьего порядка по первой строке, получим искомое уравнение.

2 способ. Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору по формуле (2.2.1). Нормальный векторравен векторному произведению векторов
,т.е.
Так как векторы
перпендикулярны линии пересечения плоскостей, то вектор параллелен линии пересечения плоскостей и перпендикулярен искомой плоскости.

Векторы (см. формулу 2.2.1), тогда

Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору

(см. пример 1 пункт 2.2)

Ответ:

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
и
перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z +15 = 0.

Указание: 1 способ. Выпишем координаты нормального вектора данной плоскости

3x – y + 3z +15 = 0:
Так как плоскости перпендикулярны, то векторпараллелен искомой плоскостиСоставим уравнение искомой плоскости
которая параллельна векторуи проходит через точки
(см. решение задачи 2 пункт 5; 1 способ).

Вычисляя определитель, получим уравнение искомой плоскости

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и вектору нормали
Вектор

Составляем уравнение искомой плоскости .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (см. задачу 2 пункт 5; 2 способ). Разделим обе части уравнения на 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Ответ: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

и

Указание: Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки (см. пример 1, пункт 2.3, формула 2.3.1).

Раскрывая определитель, получим

Ответ:

Замечание. Для проверки правильности вычисления определителя рекомендуется в полученное уравнение подставить координаты данных точек, через которые проходит плоскость. Должно получиться тождество; в противном случае в вычислениях допущена ошибка.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскостиx – 4y + 5z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнение данной плоскости
x – 4y + 5z + 1 = 0 найдем нормальный вектор
(формула 2.2.1). Векторперпендикулярен к искомой плоскости
Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1; пункт 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Ответ: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам

Указание: См. решение задачи 1 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x – y – z – 1 = 0.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3x – 2y – z + 1 = 0 и x – y – z = 0.

Указание: См. решение задачи 4 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x +2y – z – 8 = 0.

10. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

перпендикулярно плоскости 3x – y – 4z = 0.

Указание: См. решение задачи 5 пункт 5.

Ответ: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

параллельно прямой, определяемой точками A (5; –2; 3) и B (6; 1; 0).

Указание: Искомая плоскость параллельна прямой AB, следовательно, она параллельна вектору
Уравнение искомой плоскостинаходим, как в задаче 2 пункта 5 (одним из способов).

Ответ: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. ТочкаP (2; –1; –2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Указание: Нормальным вектором к искомой плоскости является вектор
Найдем его координаты.P (2; –1; –2) и O(0; 0; 0)

т.е.
Составим уравнение плоскостипо точке и нормальному вектору
(см. пример 1, пункт 2.2).

Ответ: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости: а)xoy; б) yoz; в) xoz.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиoz перпендикулярен плоскости xoy, следовательно, он перпендикулярен искомой плоскости
Составляем уравнение плоскости по точкеA (0; –1; 2) и

= (0; 0; 1), т.к.
(см. решение задачи 3, пункт 5).
z – 2 = 0.

Аналогично решаем задачи б) и в).

б)
где
(1; 0; 0).

в)
где(0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Ответ: а) z – 2 = 0 ; б) x = 0; в) y + 1 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 1; –1) перпендикулярно плоскости: а) xoy; б) xoz.

Указание: Нормальным вектором плоскости xoy является вектор

= (0; 0; 1) – единичный вектор оси oz. Составим уравнение плоскости, проходящей через две точки
и B (2; 1; –1) и перпендикулярной плоскости, имеющей нормальный вектор
(0; 0; 1), используя один из способов решения задачи 5 пункта 5.
y – 1 = 0.

Аналогично для задачи б):
где = (0; 1; 0).

Ответ: а) y – 1 = 0 ; б) x + z – 1 = 0.

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 3; –1) параллельно оси oz.

Указание: На оси oz можно взять единичный вектор = (0; 0; 1). Решение задачи аналогично решению задачи 2 пункт 5 (любым способом).

Ответ : x – y + 1 = 0.

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ox и точку

Указание: Плоскость
проходит через осьox, следовательно, и через точку O(0; 0; 0). На оси ox можно взять единичный вектор = (1; 0; 0). Уравнение искомой плоскости составляем по двум точкамA(2; –1; 6) и O(0; 0; 0) и вектору параллельному плоскости. (См. решение задачи 2 пункт 5).

Ответ: 6y + z = 0.

17. При каком значении А плоскости Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и 2x – y + 2z = 0 будут перпендикулярны?

Указание: Из общих уравнений плоскостей

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и
2x – y + 2z = 0 векторы нормалей

= (А; 2; –7) и
= (2; –1; 2) (2.2.1). Условие перпендикулярности двух плоскостей(2.6.1).

Ответ: A = 8.

18. При каком значении А плоскости 2x + 3y – 6z – 23 = 0 и

4x + Ay – 12z + 7 = 0 будут параллельны?

Указание:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 и
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) и
= (4;A; –12) (2.2.1). Т.к.
(2.5.1)

Ответ: A = 6.

19. Найти угол между двумя плоскостями 2x + y + z + 7 = 0 и x – 2y + 3z = 0.

Указание:
2x + y + z + 7 = 0 и
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) и
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Ответ :

20. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

A (1; 2; –3) параллельно вектору =(1; –2; 1).

Указание: См. решение примера пункта 3.1.

Ответ :

21. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

A (–2; 3; 1) параллельно вектору =(3; –1; 2).

Указание: См. решение примера пункта 3.2.

Ответ :
.

22. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A (1; 0; –2) и B (1; 2; –4) .

Указание: См. решение примера 1 пункта 3.3.

Ответ: а)
б)

23. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей x – 2y +3z – 4 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Указание: См. пример 1 пункт 3.4. Пусть z = 0, тогда координаты x и y точки
находим из решения системы

Следовательно, точка
, лежащая на искомой прямой, имеет координаты

(2; –1; 0). Для нахождения направляющего вектора искомой прямой из общих уравнений плоскостей
x – 2y +3z – 4 = 0 и
3x + 2y – 5z – 4 = 0

находим нормальные векторы =(1; –2; 3) и
=(3; 2; –5).

Канонические уравнения прямой находим по точке
(2; –1; 0) и направля-ющему вектору

(См. формулу (3.1.1)).

Параметрические уравнения прямой можно найти по формуле (3.2.1) или из канонических уравнений:
Имеем:

Ответ :
;
.

24. Через точку
(2; –3; –4) провести прямую, параллельную прямой

.

Указание: Канонические уравнения искомой прямой найдем по точке
и направляющему векторуТак как
то за направляющий векторпрямойможно взять направляющий векторпрямойL. Далее см. решение задачи 23 пункт 5 или пример 1 пункт 3.4.

Ответ :

25. Даны вершины треугольника A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) и C (–1; 3; 5). Найти уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины B.

Указание: Координаты точки M найдем из условия AM = MC (BM – медиана треугольника ABC).

Составим канонические уравнения прямойBM по двум точкам B (2; 4; –1) и
(См. пример 1 пункт 3.3).

Ответ :

26. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
(–1; –2; 2) параллельно осиox.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиox параллелен искомой прямой. Следовательно, его можно принять за направляющий вектор прямой
= (1; 0; 0). Составим уравнения прямой по точке

(–1; –2: 2) и вектору = (1; 0; 0) (см. пример пункт 3.1 и пример 1 пункт 3.2).

Ответ :
;

27. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
(3; –2; 4) перпендикулярно плоскости 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнения плоскости
5x + 3y – 7z + 1 = 0 найдем нормальный вектор = (5; 3; –7). По условию искомая прямая
следовательно, вектор
т.е. векторявляется направляющим вектором прямойL: = (5; 3; –7). Составляем канонические уравнения прямой по точке
(3; –2; 4) и направляющему вектору

= (5; 3; –7). (См. пример пункт 3.1).

Ответ :

28. Составить параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4x – y + 2z – 3 = 0.

Указание: Составим уравнение искомого перпендикуляра, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости
4x – y + 2z – 3 = 0 и проходящей через точку O (0; 0; 0). (См. решение задачи 27 пункт 5 и примера 1 пункт 3.2).

Ответ:

29. Найти точку пересечения прямой
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0.

Указание: Чтобы найти точку M пересечения прямой

L:
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0, надо решить систему уравнений:

;

Для решения системы канонические уравнения прямой преобразуем к параметрическим уравнениям. (См. задачу 23 пункт 5).

Ответ :

30. Найти проекцию точки M (4; –3; 1) на плоскость x + 2y – z – 3 = 0.

Указание: Проекцией точки М на плоскость будет точка P – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость
и плос-костиСоставим параметрические уравнения пер-пендикуляра МР.(См. решение задачи 28 пункт 5).

Найдем точку Р – точку пересечения прямой МР и плоскости (См. решение задачи 29 пункт 5).

Ответ:

31. Найти проекцию точки А(1; 2; 1) на прямую

Указание: Проекцией точки А на прямую L:
является точкаВ пересечения прямой L и плоскости
которая проходит через точку А и перпендикулярна прямойL. Из канонических уравнений прямой L выпишем направляющий вектор =(3; –1; 2). Плоскостьперпендикулярна прямойL, следовательно,
Таким образом, векторможно взять за нормальный вектор плоскости
= (3; –1; 2). Составим уравнение плоскостипо точке А(1; 2; 1) и= (3; –1; 2) (см. пример 1 пункт 2.2):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Найдем точку В пересечения прямой и плоскости (см. задачу 29 пункт 5):

Ответ :

32. Через точку M (3; –1; 0) провести прямую, параллельную двум плоскостям x – y + z – 3 = 0 и x + y + 2z – 3 = 0.

Указание: Плоскости
x – y + z – 3 = 0 и
x + y + 2z – 3 = 0 не параллельны, т.к. не выполняется условие (2.5.1):
Плоскости
пересекаются. Искомая прямаяL, параллельная плоскостям
параллельна линии пересечения этих плоскостей. (См. решение задач 24 и 23 пункт 5).

Ответ :

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через две прямые

Указание: 1 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
, лежащей на прямой, и нормальному вектору. Векторбудет равен векторному произведению направляющих векторов прямых
, которые найдем из канонических уравнений прямых
(формула 3.1.1): = (7; 3; 5) и

= (5; 5; –3)

Координаты точки
найдем из канонических уравнений прямой

Составляем уравнение плоскости по точке
и вектору нормали=(–34; 46; 20) (см. пример 1 пункт 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

2 способ. Находим направляющие векторы = (7; 3; 5) и= (5; 5; –3) из канонических уравнений прямых
Точку
(0; 2; –1) находим из уравнения

. Возьмем произвольную точку плоскости

M (x; y; z). Векторы
– компланарны, следовательно,
Из этого условия получаем уравнение плоскости:

Ответ : 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(2; 0; 1) и прямую

Указание: Убедимся прежде всего, что точка
на данной прямой не лежит:
Точку
и направляющий векторнаходим из канонических уравнений прямой
:
(1; –1; –1) и

= (1; 2; –1). Нормальный вектор искомой плоскости
Координаты нормального вектора найдем, зная координаты=(1; 2; –1) и

= (1; 1; 2):

Составляем уравнение плоскости по точке
(2; 0; 1) и нормальному вектору= (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Ответ : 5x – 3y – z – 9 = 0.

Пусть точки M 1 , M 2 , M 3 не лежат на одной прямой. Как известно, три такие точки однозначно определяют некоторую плоскость р (рис. 199).

Выведем уравнение плоскости р . Пусть М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда векторы

\(\overrightarrow{M_{1}M}\), \(\overrightarrow{M_{1}M_2}\), \(\overrightarrow{M_{1}M_3}\) компланарны. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (§ 23*, теорема 2). Поэтому уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, может быть записано следующим образом:

(\(\overrightarrow{M_{1}M}\), \(\overrightarrow{M_{1}M_2}\), \(\overrightarrow{M_{1}M_3}\)) = 0. (1)

Если точки M 1 , M 2 и M 3 заданы координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат, то уравнение (1) можно записать в координатах.

Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2), M 3 (х 3 ; у 3 ; z 3) - данные точки. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z . Найдем координаты векторов, входящих в уравнение (1):

\(\overrightarrow{M_{1}M}\) = (х - х 1 ; у - у 1 ; z - z 1),

\(\overrightarrow{M_{1}M_2}\) = (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1),

\(\overrightarrow{M_{1}M_3}\) = (x 3 - x 1 ; у 3 - y 1 ; z 3 - z 1).

Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят координаты векторов. Следовательно, уравнение (1) в координатах имеет вид

$$ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0 \;\; (2)$$

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки А (а ; 0; 0), В(0; b ; 0), С(0; 0;с ), у которых а =/= 0, b =/= 0, c =/= 0. Эти точки лежат на осях координат (рис. 200).

Полагая в уравнении (2) x 1 = а , у 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, у 2 = b , z 2 = 0, x 3 = 0, у 3 = 0, z 3 = с , получим

$$ \begin{vmatrix} x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end{vmatrix}=0 $$

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение

bc (х - a ) + acy + abz = 0

bcx + асу + abz = abc ,

x / a + y / b + z / c = 1. (3)

Уравнение (3) называется уравнением плоскости в отрезках , так как числа a, b и с указывают, какие отрезки отсекает плоскость на осях координат.

Задача. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12). Упростить полученное уравнение. Получить уравнение данной плоскости в отрезках.

Уравнение (2) в данном случае записывается следующим образом:

$$ \begin{vmatrix} x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end{vmatrix}=0 $$

Это и есть уравнение данной плоскости. Разложив определитель по первой строке, получим

62(х + 1) +93(y - 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2x + 3y + 2z - 12 = 0.

Разделив почленно на 12 и перенеся свободный член уравнения в правую часть, получим уравнение данной плоскости в отрезках

$$ \frac{x}{-6}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1 $$

Из уравнения видно, что данная плоскость отсекает на осях координат отрезки, длины которых равны соответственно 6, 4 и 6. Ось Ох пересекается плоскостью в точке с отрицательной абсциссой, ось Оу - в точке с положительной ординатой, ось Оz - в точке с положительной апликатой.

Можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.

Нормальный вид уравнения

Допустим, есть пространство R 3 , которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.

Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ - это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:

Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.

Общее уравнение

Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:

Здесь А, В, С - это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.

Уравнения плоскостей. Частные случаи

Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.

Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:

• Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
• Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
• В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
• В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
• В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
• В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.

Вид уравнения в отрезках

В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:

х/а + у/b + z/с = 1,

в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.

Получаем в итоге Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).

С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.

Координаты нормального вектора

Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).

Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.

При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).

Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.

Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора

Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.

Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:

• точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
• нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.

Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.

В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:

[МₒМ, n] = 0.

Поскольку МₒМ = r-rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:

Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. = - . Если обозначить как с, то получится следующее уравнение: - с = 0 или = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.

Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости = 0. Поскольку r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:

Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:

А*(х- хₒ)+В*(у- уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости

Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).

Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.

При этом векторы М′М={х-х′;у-у′;z-z′} и М″М={х″-х′;у″-у′;z″-z′} должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.

Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:

Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки

Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:

Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:

Сейчас мы можем составить однородную систему с неизвестными u, v, w:

В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.

Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.

Двухгранный угол между плоскостями

Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.

Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:

Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно потому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.

На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ 1 и φ 2 . Сумма их равна π (φ 1 + φ 2 = π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ 1 =-cos φ 2 . Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.

Уравнение перпендикулярной плоскости

Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Уравнение параллельной плоскости

Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.

Условие (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:

А/А¹=В/В¹=С/С¹.

Если условия пропорциональности являются расширенными - А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,

это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.

Расстояние до плоскости от точки

Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:

(ρ,v)=р (р≥0).

В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р - это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v - это единичный вектор, который расположен в направлении а.

Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Вот и получается,

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.

Используя язык параметров, получаем очевидное:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Если заданная точка Q 0 находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится следовательно:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

В случае когда точка Q 0 совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v)<р.

Касательная плоскость и ее уравнение

Касающаяся плоскость к поверхности в точке касания Мº - это плоскость, содержащая все возможные касательные к кривым, проведенным через эту точку на поверхности.

При таком виде уравнения поверхности F(х,у,z)=0 уравнение касательной плоскости в касательной точке Мº(хº,уº,zº) будет выглядеть так:

F х (хº,уº,zº)(х- хº)+ F х (хº, уº, zº)(у- уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.

Если задать поверхность в явной форме z=f (х,у), то касательная плоскость будет описана уравнением:

z-zº =f(хº, уº)(х- хº)+f(хº, уº)(у- уº).

Пересечение двух плоскостей

В расположена система координат (прямоугольная) Oxyz, даны две плоскости П′ и П″, которые пересекаются и не совпадают. Поскольку любая плоскость, находящаяся в прямоугольной координатной системе, определяется общим уравнением, будем полагать, что П′ и П″ задаются уравнениями А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. В таком случае имеем нормаль n′ (А′,В′,С′) плоскости П′ и нормаль n″ (А″,В″,С″) плоскости П″. Поскольку наши плоскости не параллельны и не совпадают, то эти векторы являются не коллинеарными. Используя язык математики, мы данное условие можем записать так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Пускай прямая, которая лежит на пересечении П′ и П″, будет обозначаться буквой а, в этом случае а = П′ ∩ П″.

а - это прямая, состоящая из множества всех точек (общих) плоскостей П′ и П″. Это значит, что координаты любой точки, принадлежащей прямой а, должны одновременно удовлетворять уравнения А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. Значит, координаты точки будут частным решением следующей системы уравнений:

В итоге получается, что решение (общее) этой системы уравнений будет определять координаты каждой из точек прямой, которая будет выступать точкой пересечения П′ и П″, и определять прямую а в координатной системе Oxyz (прямоугольной) в пространстве.

Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:

Для определения параллельности и перпендикулярности плоскостей, а также для расчета расстояний между этими геометрическими объектами, удобно пользоваться тем или иным видом числовых функций. Для каких задач удобно использовать уравнение плоскости в отрезках? В данной статье рассмотрим, что это и как использовать в практических заданиях.

Что собой представляет уравнение в отрезках?

Плоскость можно задать в трехмерном пространстве несколькими способами. В данной статье некоторые из них будут приведены во время решения задач различного типа. Здесь же дадим подробную характеристику уравнению в отрезках плоскости. Оно в общем случае имеет следующий вид:

Где символами p, q, r обозначены некоторые конкретные числа. Это уравнение можно легко перевести в выражение общего вида и в другие формы числовых функций для плоскости.

Удобство записи уравнения в отрезках заключается в том, что оно содержит явные координаты пересечения плоскости с перпендикулярными осями координат. На оси x относительно начала координат плоскость отсекает отрезок длиною p, на оси y - равную q, на z - длиною r.

Если какой-либо из трех переменных не содержится в уравнении, то это означает, что через соответствующую ось плоскость не проходит (математики говорят, что пересекает в бесконечности).

Связь общего и в отрезках уравнений

Известно, что плоскость задана следующим равенством:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Необходимо это общее уравнение плоскости в отрезках записать.

Когда возникает подобная задача, нужно следовать такой методике: переносим свободный член в правую часть равенства. Затем делим на этот член все уравнение, стремясь его выразить в виде, приведенном в предыдущем пункте. Имеем:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Мы получили в отрезках уравнение плоскости, заданное изначально в общем виде. Заметно, что плоскость отсекает отрезки с длинами 3, 2 и 6 для осей x, y и z соответственно. Ось y плоскость пересекает в отрицательной области координат.

При составлении уравнения в отрезках важно, чтобы перед всеми переменными стоял знак "+". Только в этом случае число, на которое эта переменная делится, покажет отсекаемую на оси координату.

Нормальный вектор и точка на плоскости

Известно, что некоторая плоскость имеет (3; 0; -1). Также известно, что она проходит через точку (1; 1; 1). Следует для этой плоскости написать уравнение в отрезках.

Чтобы решить эту задачу, следует для начала воспользоваться общей формой для этого двумерного геометрического объекта. Общая форма записывается в виде:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Три первых коэффициента являются здесь координатами вектора направляющего, который задан в условии задачи, то есть:

Остается найти свободный член D. Его определить можно по такой формуле:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

Где значения координат с индексом 1 соответствуют координатам точки, принадлежащей плоскости. Подставляем их значения из условия задачи, получаем:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Теперь можно записать полностью уравнение:

Выше уже была продемонстрирована методика преобразования этого выражения в уравнение в отрезках плоскости. Применим ее:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Ответ на задачу получен. Заметим, что данная плоскость пересекает только x и z оси. Для y она параллельна.

Две прямые, задающие плоскость

Из курса пространственной геометрии каждый школьник знает, что две произвольные прямые задают однозначно плоскость в пространстве трехмерном. Решим подобную задачу.

Известны два уравнения прямых:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

Нужно записать в отрезках уравнение плоскости, через прямые эти проходящей.

Так как обе прямые должны лежать в плоскости, то это означает, что их вектора (направляющие) должны быть перпендикулярны вектору (направляющему) для плоскости. В то же время известно, что векторное произведение произвольных двух направленных отрезков дает результат в виде координат третьего, перпендикулярного двум исходным. Учитывая это свойство, получаем координаты нормального к искомой плоскости вектора:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Поскольку его можно умножать на произвольное число, при этом образуется новый направленный отрезок, параллельный исходному, то можно знак полученных координат заменить на противоположный (умножить на -1), получим:

Нам известен направляющий вектор. Остается взять произвольную точку одной из прямых и составить общее уравнение плоскости:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Переводим это равенство в выражение в отрезках, получаем:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Таким образом, плоскость пересекает все три оси в положительной области координатной системы.

Так же как две прямые, три точки задают плоскость однозначно в трехмерном пространстве. Запишем соответствующее уравнение в отрезках, если известны следующие координаты точек, лежащих в плоскости:

Поступим следующим образом: вычислим координаты двух произвольных векторов, соединяющих эти точки, затем, найдем нормальный к плоскости вектор n¯, рассчитав произведение найденных направленных отрезков. Получаем:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Возьмем для примера точку P, составим уравнение плоскости:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 или z = 0.

Мы получили простое выражение, которое соответствует плоскости xy в данной прямоугольной системе координат. Записать его в отрезках нельзя, поскольку оси x и y принадлежат плоскости, а длина отсекаемого на оси z отрезка равна нулю (точка (0; 0; 0) принадлежит плоскости).