ТЕМА ЭЛЕКТИВНОГО ПРЕДМЕТА
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ И БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Количество 34 часа
учитель математики высшей
МОУ «СОШ № 51»
Саратов, 2008
ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО ПРЕДМЕТА
«ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ И БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ»
Пояснительная записка
В последние годы выпускные экзамены в школах, а также вступительные экзамены в вузах проводятся с помощью тестов. Эта форма проверки отличается от классического экзамена и требует специфической подготовки. Особенностью тестирования в том виде, который сложился к настоящему времени, является необходимость ответа на большое количество вопросов за ограниченный промежуток времени, т. е. требуется не просто отвечать на поставленные вопросы, но и делать это быстро. Поэтому важно освоить различные приемы, методы, которые позволяют достичь желаемого результата.
При решении почти любой школьной задачи приходится делать некоторые преобразования. Зачастую ее сложность полностью определяется степенью сложности и объемом преобразований, которые необходимо выполнить. Не редки случаи, когда школьник оказывается не в состоянии решить задачу не потому, что не знает, как она решается, а потому, что он не может без ошибок, в разумное время произвести все необходимые преобразования и вычисления.
Элективный курс «Преобразование числовых и буквенных выражений» расширяет и углубляет базовую программу по математике в средней школе и рассчитан на изучение в 11 классе . Предлагаемый курс ставит своей целью развитие вычислительных навыков и остроты мышления. Курс рассчитан на учащихся имеющих высокий или средний уровень математической подготовки и призван помочь им подготовиться к поступлению в ВУЗы, способствовать продолжению серьезного математического образования.
Цели и задачи:
Систематизация, обобщение и расширение знания учащихся о числах и действиях с ними;
Развитие самостоятельности, творческого мышления и познавательного интереса учащихся;
Формирование интереса к вычислительному процессу;
Адаптация учащихся к новым правилам поступления в ВУЗы.
Ожидаемые результаты:
Знание классификации чисел;
Совершенствование умений и навыков быстрого счета;
Умение пользоваться математическим аппаратом при решении различных задач;
Учебно-тематический план
План рассчитан на 34 часа. Он составлен с учетом темы диплома, поэтому рассматриваются две отдельные части: числовые и буквенные выражения. На усмотрение учителя, буквенные выражения можно рассматривать вместе с числовыми в соответствующих темах.
Количество часов |
||
Числовые выражения Целые числа Метод математической индукции Рациональные числа Десятичные периодические дроби Иррациональные числа Корни и степени Логарифмы Тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Комплексные числа Тест по теме «Числовые выражения» Сравнение числовых выражений Буквенные выражения Преобразование выражений с радикалами Преобразование степенных выражений Преобразование логарифмических выражений Преобразование тригонометрических выражений Итоговый тест |
Целые числа (4ч)
Числовой ряд. Основная теорема арифметики. НОД и НОК. Признаки делимости. Метод математической индукции.
Рациональные числа (2ч)
Определение рационального числа. Основное свойство дроби. Формулы сокращенного умножения. Определение периодической дроби. Правило перевода из десятичной периодической дроби в обыкновенную.
Иррациональные числа. Радикалы. Степени. Логарифмы (6ч)
Определение иррационального числа. Доказательство иррациональности числа. Избавление от иррациональности в знаменателе. Действительные числа. Свойства степени. Свойства арифметического корня n-й степени. Определение логарифма. Свойства логарифмов.
Тригонометрические функции (4ч)
Числовая окружность. Числовые значения тригонометрических функций основных углов. Перевод величины угла из градусной меры в радианную и наоборот. Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические операции над аркфункциями. Основные отношения между аркфункциями.
Комплексные числа (2ч)
Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Промежуточное тестирование (2ч)
Сравнение числовых выражений (4ч)
Числовые неравенства на множестве действительных чисел. Свойства числовых неравенств. Опорные неравенства. Методы доказательства числовых неравенств.
Буквенные выражения (8ч)
Правила преобразования выражений с переменными: многочленов; алгебраических дробей; иррациональных выражений; тригонометрических и других выражений. Доказательства тождеств и неравенств. Упрощение выражений.
1 часть элективного предмета: «Числовые выражения»
ЗАНЯТИЕ 1 (2 часа)
Тема урока : Целые числа
Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся о числах; вспомнить понятия НОД и НОК; расширить знания о признаках делимости; рассмотреть задачи, решаемые в целых числах.
Ход урока
I . Вводная лекция.
Классификация чисел:
Натуральные числа;
Целые числа;
Рациональные числа;
Действительные числа;
Комплексные числа.
Знакомство с числовым рядом в школе начинается с понятия натурального числа. Числа, употребляемые при счете предметов, называются натуральными. Множество натуральных чисел обозначается N. Натуральные числа делятся на простые и составные. Простые числа имеют только два делителя единицу и само число, составные числа имеют более двух делителей. Основная теорема арифметики гласит: «Любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел (не обязательно различных), и притом единственным образом (с точностью до порядка сомножителей)».
С натуральными числами связаны еще два важных арифметических понятия: наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Каждое из этих понятий фактически определяет само себя. Решение многих задач облегчают признаки делимости, которые необходимо вспомнить.
Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра четная или о.
Признак делимости на 4 . Число делится на 4, если две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Признаки делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Признак делимости на 5 . На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5.
Признак делимости на 25. На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25.
Признаки делимости на 10,100,1000 . На 10 делятся только те числа последняя цифра которых 0, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры 0, на 1000 - только те, у которых три последние цифры 0.
Признак делимости на 11 . На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.
На первом занятии мы рассмотрим натуральные и целые числа. Целые числа - это натуральные числа, числа противоположные им и ноль. Множество целых чисел обозначается Z.
II . Решение задач.
ПРИМЕР 1. Разложите на простые множители: а) 899; б) 1000027.
Решение: а) ;
б) ПРИМЕР 2. Найти НОД чисел 2585 и 7975.
Решение: Воспользуемся алгоритмом Евклида:
Если https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;
https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">
220 |165 -
165|55 -
Ответ: НОД(2585,7975) = 55.
ПРИМЕР 3. Вычислите:
Решение: = 1987100011989. Этому же значению равно и второе произведение. Следовательно, разность равна 0.
ПРИМЕР 4. Найдите НОД и НОК чисел а) 5544 и 1404; б) 198, 504 и 780.
Ответы: а) 36; 49896; б) 6; 360360.
ПРИМЕР 5. Найти частное и остаток при делении
а) 5 на 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;
в) -529 на (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;
д) 256 на (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">
Решение: , https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.
б) 
Решение: , https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.
ПРИМЕР 7..gif" width="67" height="27 src="> на17.
Решение: Введем запись 
, означающую, что при делении на m числа a, b,c,…d дают один и тот же остаток.
Следовательно, при любом натуральном k будет
Но 1989=16124+5. Значит,
Ответ: Остаток равен 12.
ПРИМЕР 8. Найдите наименьшее натуральное число, большее 10, которое при делении на 24, 45, и 56 давало бы в остатке 1.
Ответ: НОК(24;45;56)+1=2521.
ПРИМЕР 9. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 7, а при делении на 3, 4 и 5 дает в остатке 1.
Ответ: 301. Указание. Среди чисел вида 60k + 1 надо найти наименьшее, делящееся на 7; k = 5.
ПРИМЕР 10. Припишите к 23 по одной цифре справа и слева так, чтобы получившееся четырехзначное число делилось на 9 и на 11.
Ответ: 6237.
ПРИМЕР 11. Припишите к числу сзади три цифры так, чтобы полученное число делилось на 7, на 8 и на 9.
Ответ: 304 или 808. Указание. Число при делении на = 789) дает в остатке 200. Следовательно, если прибавить к нему 304 или 808, оно будет делиться на 504.
ПРИМЕР 12. Можно ли в трехзначном числе, делящемся на 37, переставить цифры так, чтобы полученное число тоже делилось на 37?
Ответ: Можно. Указание..gif" width="61" height="24"> также делится на 37. Имеем A = 100a + 10b + c = 37k, откуда c =37k -100a – 10b. Тогда B = 100b +10с + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, то есть В делится на 37.
ПРИМЕР 13. Найдите число, при делении на которое числа 1108, 1453,1844 и 2281 дают одинаковый остаток.
Ответ: 23. Указание. Разность любых двух данных чисел делится на искомое. Значит, нам подходит любой, отличный от 1 общий делитель всевозможных разностей данных
ПРИМЕР 14. Представьте 19 в виде разности кубов натуральных чисел.
ПРИМЕР 15. Квадрат натурального числа равен произведению четырех последовательных нечетных чисел. Найдите это число.
Ответ: 
.
ПРИМЕР 16..gif" width="115" height="27"> не делится на 10.
Ответ: а) Указание. Сгруппировав первое и последнее слагаемое, второе и предпоследнее и т. д., воспользоваться формулой суммы кубов.
б) Указание..gif" width="120" height="20">.
4) Найдите все пары натуральных чисел, НОД которых равен 5, а НОК – 105.
Ответ: 5, 105 или 15, 35.
ЗАНЯТИЕ 2 (2 часа)
Тема урока: Метод математической индукции.
Цель урока: Рассмотреть математические утверждения, требующие доказательства; познакомить учащихся с методом математической индукции; развивать логическое мышление.
Ход урока
I . Проверка домашнего задания.
II . Объяснение нового материала.
В школьном курсе математики наряду с заданиями «Найти значение выражения» встречаются задания вида: «Доказать равенство». Одним из самых универсальных методов доказательств математических утверждений, в которых фигурируют слова «для произвольного натурального n», является метод полной математической индукции.
Доказательство при помощи этого метода всегда состоит из трех этапов:
1) Базис индукции. Проверяется справедливость утверждения для n = 1.
В некоторых случаях для начала индукции приходится проверять несколько
начальных значений.
2) Предположение индукции. Предполагается, что утверждение верно для любого
3) Индуктивный шаг. Доказывается справедливость утверждения для
Таким образом, начав с n = 1, на основании доказанного индуктивного перехода получаем справедливость доказываемого утверждения для
n =2, 3,…т. е. для любого n.
Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 1: Доказать, что при любом натуральном n число 
делится на 7 .
Доказательство: Обозначим 
.
1 шаг..gif" width="143" height="37 src="> делится на 7.
3 шаг..gif" width="600" height="88">
Последнее число делится на 7, так как представляет собой разность двух целых чисел, делящихся на 7.
ПРИМЕР 2: Доказать равенство https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">
Https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> получается из 
заменой n на k = 1.
III . Решение задач
На первом уроке из приведенных ниже заданий (№ 1-3) для решения выбираются несколько на усмотрение учителя для разбора на доске. На втором уроке рассматриваются № 4,5; проводится самостоятельная работа из № 1-3; № 6 предлагается как дополнительный, с обязательным решением его на доске.
1) Докажите, что а) делится на 83;
б) делится на 13;
в) делится на 20801.
2) Докажите, что при любых натуральных n:
а) 
делится на 120;
б) 
делится на 27;
в) 
делится на 84;
г) 
делится на 169;
д) 
делится на 8;
е) делится на 8;
ж) делится на16;
з) 
делится на 49;
и) 
делится на 41;
к) 
делится на 23;
л) 
делится на 13;
м) 
делится на .
3) Докажите, что:
г) 
;
4) Выведите формулу суммы https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.
6) Докажите, что сумма членов каждой строки таблицы
…………….
равна квадрату нечетного числа, номер которого в строке равен номеру строки от начала таблицы.
Ответы и указания.
1) Воспользуемся записью, введенной в примере 4 предыдущего урока.
а) . Следовательно, делится на 83 
.
б) Поскольку 
, то ;
. Следовательно, 
.
в) Поскольку , то надо доказать, что данное число делится на 11, 31 и 61..gif" width="120" height="32 src=">. Аналогично доказывается делимость на 11 и 31.
2) а) Докажем, что данное выражение делится на 3, 8, 5. Делимость на 3 следует из того, что 
, а из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Для проверки делимости на 5 достаточно рассмотреть значения n=0,1,2,3,4.
Запись условий задач с помощью принятых в математике обозначений приводит к появлению так называемых математических выражений, которые называют просто выражениями. В этой статье мы подробно поговорим про числовые, буквенные выражения и выражения с переменными : дадим определения и приведем примеры выражений каждого вида.
Навигация по странице.
Числовые выражения – что это?
Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с самых первых уроков математики. Но свое имя – числовые выражения – они официально приобретают немного позже. Например, если следовать курсу М. И. Моро, то это происходит на страницах учебника математики для 2 классов. Там представление о числовых выражениях дается так: 3+5 , 12+1−6 , 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 и т.п. – это все числовые выражения , а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения .
Можно сделать вывод, что на этом этапе изучения математики числовыми выражениями называют имеющие математический смысл записи, составленные из чисел, скобок и знаков сложения и вычитания.
Чуть позже, после знакомства с умножением и делением, записи числовых выражений начинают содержать знаки «·» и «:». Приведем несколько примеров: 6·4 , (2+5)·2 , 6:2 , (9·3):3 и т.п.
А в старших классах разнообразие записей числовых выражений разрастается как снежный ком, катящийся с горы. В них появляются обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и отрицательные числа, степени, корни, логарифмы, синусы, косинусы и так далее.
Обобщим всю информацию в определение числового выражения:
Определение.
Числовое выражение - это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.
Разъясним все составные части озвученного определения.
В числовых выражениях могут участвовать абсолютно любые числа: от натуральных до действительных, и даже комплексных. То есть, в числовых выражениях можно встретить
Со знаками арифметических действий все понятно – это знаки сложения, вычитания, умножения и деления, имеющие соответственно вид «+», «−» , «·» и «:». В числовых выражениях может присутствовать один из этих знаков, некоторые из них или все сразу, и причем по нескольку раз. Вот примеры числовых выражений с ними: 3+6 , 2,2+3,3+4,4+5,5 , 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12 .
Что касается скобок , то имеют место как числовые выражения, в которых есть скобки, так и выражения без них. Если в числовом выражении есть скобки, то они в основном
А иногда скобки в числовых выражениях имеют какое-нибудь определенное отдельно указанное специальное предназначение. К примеру, можно встретить квадратные скобки, обозначающие целую часть числа, так числовое выражение +2 обозначает, что к целой части числа 1,75 прибавляется число 2 .
Из определения числового выражения также видно, что в выражении могут присутствовать , , log
, ln
, lg
, обозначения или и т.п. Вот примеры числовых выражений с ними: tgπ
, arcsin1+arccos1−π/2
и 
.
Деление в числовых выражениях может быть обозначено с помощью . В этом случае имеют место числовые выражения с дробями. Приведем примеры таких выражений: 1/(1+2)
, 5+(2·3+1)/(7−2,2)+3
и 
.
В качестве специальных математических символов и обозначений, которые можно встретить в числовых выражениях, приведем . Для примера покажем числовое выражение с модулем 
.
Что такое буквенные выражения?
Понятие буквенных выражений дается практически сразу после знакомства с числовыми выражениями. Вводится оно примерно так. В некотором числовом выражении одно из чисел не записывается, а вместо него ставится кружочек (или квадратик, или нечто подобное), и говорится, что вместо кружочка можно подставить некоторое число. Для примера приведем запись . Если вместо квадратика поставить, например, число 2 , то получится числовое выражение 3+2 . Так вот вместо кружочков, квадратиков и т.п. условились записывать буквы, а такие выражения с буквами назвали буквенными выражениями . Вернемся к нашему примеру , если в этой записи вместо квадратика поставить букву a , то получится буквенное выражение вида 3+a .
Итак, если допустить в числовом выражении присутствие букв, которыми обозначены некоторые числа, то получится так называемое буквенное выражение. Дадим соответствующее определение.
Определение.
Выражение, содержащее буквы, которыми обозначены некоторые числа, называется буквенным выражением .
Из данного определения понятно, что принципиально буквенное выражение отличается от числового выражения тем, что может содержать буквы. Обычно в буквенных выражениях используются маленькие буквы латинского алфавита (a, b, c, … ), а при обозначении углов – маленькие буквы греческого алфавита (α, β, γ, … ).
Итак, буквенные выражения могут быть составлены из чисел, букв и содержать все математические символы, которые могут встречаться в числовых выражениях, такие как скобки, знаки корней, логарифмы, тригонометрические и другие функции и т.п. Отдельно подчеркнем, что буквенное выражение содержит по крайней мере одну букву. Но может содержать и несколько одинаковых или различных букв.
Теперь приведем несколько примеров буквенных выражений. Например, a+b
– это буквенное выражение с буквами a
и b
. Вот другой пример буквенного выражения 5·x 3 −3·x 2 +x−2,5
. И приведем пример буквенного выражения сложного вида: 
.
Выражения с переменными
Если в буквенном выражении буква обозначает величину, которая принимает не какое-то одно конкретное значение, а может принимать различные значения, то эту букву называют переменной и выражение называют выражением с переменной .
Определение.
Выражение с переменными – это буквенное выражение, в котором буквы (все или некоторые) обозначают величины, принимающие различные значения.
Например, пусть в выражении x 2 −1 буква x может принимать любые натуральные значения из интервала от 0 до 10 , тогда x – есть переменная, а выражение x 2 −1 есть выражение с переменной x .
Стоит отметить, что переменных в выражении может быть несколько. К примеру, если считать x
и y
переменными, то выражение 
является выражением с двумя переменными x
и y
.
Вообще, переход от понятия буквенного выражения к выражению с переменными происходит в 7 классе, когда начинают изучать алгебру. До этого момента буквенные выражения моделировали какие-то конкретные задачи. В алгебре же начинают смотреть на выражение более общо, без привязки к конкретной задаче, с пониманием того, что данное выражение подходит под огромное число задач.
В заключение этого пункта обратим внимание еще на один момент: по внешнему виду буквенного выражения невозможно узнать, являются ли входящие в него буквы переменными или нет. Поэтому ничто нам не мешает считать эти буквы переменными. При этом разница между терминами «буквенное выражение» и «выражение с переменными» исчезает.
Список литературы.
- Математика . 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М.: Просведение, 2012. - 96 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
