6− ρ 2

V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z

6 ρ − ρ 2 d ρ =

2 d ϕ =

4 ∫ 2 (3 ρ 2 −

∫ 2 d ϕ =

32π

Если не учитывать симметрию, то

6− ρ 2

32π

V = ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz =

n− 1

σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i ,

для функции f (x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин

частичных дуг M i M i + 1 , i =

0 ,n − 1 черезλ , то есть λ = max ∆ l i .

0 ≤i ≤n −1

Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1)

стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугM i M i + 1 ,

зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от

Таким образом, по определению

n− 1

I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl.

λ → 0 i = 0

Действительно, из определения криволинейного интеграла следует,

dl = lim n − 1

∆l

Lim l = l .

λ → 0 ∑

λ→ 0

i = 0

3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа

аналогичны свойствам определенного интеграла:

1 о . ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.

2 о . ∫ cf (x , y ) dl = c ∫ f (x , y ) dl , где с - константа.

и L , не

3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L

f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl .

3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа

сводится к вычислению определенных интегралов.

x= x(t)

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

y= y(t)

Пустьα и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и

концу (точка В )

[α , β ]

x (t ), y (t ) и

производные

x (t), y (t)

Непрерывны,

f (x , y ) -

непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления

функций одной переменной известно, что

dl = (x (t))

+ (y (t ))

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t))

(x (t )

+ (y (t ))

∫ x2 dl,

Пример 3.1.

Вычислить

окружности

x= a cos t

0 ≤ t ≤

y= a sin t

Решение. Так как x (t ) = − a sin t , y (t ) = a cos t , то

dl =

(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt

и по формуле (3.4) получаем

Cos 2t )dt =

sin 2t

∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a

3 ∫

πa 3

sin π

L задана

уравнением

y = y(x) ,

a ≤ x ≤ b

y(x)

непрерывна вместе со своей производной y

(x ) при a ≤ x ≤ b , то

dl =

1+ (y (x ))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x))

(y (x ))

L задана

x = x(y), c ≤ y ≤ d

x (y )

уравнением

непрерывна вместе со своей производной x (y ) при c ≤ y ≤ d , то

dl =

1+ (x (y ))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y)

1 + (x (y ))

Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы

2 x от

точки А (0,0) до точки В (2,2).

Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя

формулы (3.5) и(3.6)

1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как

2x (y ≥ 0), y ′

2 x =

2 x ,

dl =

1+ 2 x dx ,

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl = ∫

2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx =

1 (2x + 1)

2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как

x = 2 , x

Y, dl

1 + y

y 1 + y 2 dy =

(1 + y

/ 2 2

∫ ydl = ∫

3 / 2

dl =

(x (t ))

(y (t ))

(z (t ))

∫ f (x, y, z) dl =

= ∫

dt .

f (x (t ), y (t ), z (t )) (x (t ))

(y (t ))

(z (t ))

x= t cos t

0 ≤ t ≤ 2 π.

y = t sin t

z = t

x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 ,

dl =

(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt =

∫ (2z −

x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t −

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t )

2 + t 2 dt =

T 2 )

= ∫

t 2 + t

dt =

4 π

− 2 2

цилиндрической

поверхности,

которая составлена из перпендикуляров к

плоскости xOy ,

восстановленных в точках

(x , y )

L = AB

и имеющих

1+ t

dt ,

x (t) = 1, y (t) = t , dl =

3/ 2 1

1 (1+ t

m = ∫ 2 ydl = ∫

1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt =

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по

координатам ). Пусть функция

f (x , y ) определена вдоль плоской

кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В . Опять

произвольным

разобьем

кривую L

M 0 = A , M 1 ,... M n = B Так же выберем в пределах

каждой частичной

дуги M i M i + 1

произвольную точку

(xi , yi )

и вычислим

Кривая АВ, заданная параметрическими уравнениями называется гладкой, если функции и имеют на отрезке непрерывные производные и причем Если в конечном числе точек отрезка эти производные не существуют или одновременно обращаются в нуль, то кривая называете я кусочно-гладкой. Пусть АВ - плоская кривая, гладкая или ку-сочно-гладкая. Пусть f(M) - функция, заданная на кривой АВ или в некоторой области D, содержащей эту кривую. Рассмотрим разбиение кривой А В на части точками (рис. 1). Выберем на каждой из дуг A^At+i произвольную точку Mk и составим сумму где Alt - длина дуги и назовем ее интегральной суммой для функции f(M) по длине дуги кривой. Пусть Д / - наибольшая издлин частичных дуг, т. е. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Определе нив. Если при интегральная сумма (I) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек на каждой из дуг разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом \ -го рода от функции f(M) по кривой АВ (интеграл по длине дуги кривой) и обозначается символом В этом случае функция /(М) называется интегрируемой вдоль кривой АВУ кривая А В называется контуром интегрирования, А - начальной, В - конечной точками интегрирования. Таким образом, по определению, Пример 1. Пусть вдоль некоторой гладкой кривой L распределена масса с переменной линейной плотностью J(M). Найти массу т кривой L. (2) Разобьем кривую L на п произвольных частей) и вычислим приближен- но массу каждой части, предполагая, что на каждой из частей плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из ее точек, например, в крайней левой точке /(Af*). Тогда сумма кшо где Д/д - длина Дг-ой части, будет приближенным значением массы т. Ясно, что погрешность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой L. В пределе при Ы -* 0 (Д / = max Л/») получим точное значение массы всей кривой L, т.е. Но предел справа есть криволинейный интеграл 1-го рода. Значит, 1.1. Существование криволинейного интеграла 1-го рода Примем на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А (рис.2). Тогда кривую АВ можно описать уравнениями (3) где L - длина кривой АВ. Уравнения (3) называются натуральными уравнениями кривой АВ. При переходе к натуральным уравнениям функция f(x} у), заданная на кривой АВ, сведется к функции переменной I: / (х(1)} у(1)). Обозначив через значение параметра I, отвечающее точке Мку перепишем интегральную сумму (I) в виде Это - интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу Поскольку интегральные суммы (1) и (4) равны междусобой, то равны и отвечающие им интегралы. Таким образом, (5) Теорема 1. Если функция /(М) непрерывна вдоль гладкой кривой АВ, то существует криволинейный интеграл (поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (5) справа). 1.2. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода 1. Из вида интегральной суммы (1) следует, что т.е. величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит ог направления интегрирования. 2. Линейность. Если для каждой из функций /() существует криволинейный интеграл по кривой ABt то для функции а/, где а и /3 - любые постоянные, также существует криволинейный интеграл по кривой АВ> причем 3. Аддитивность. Если кривая АВ состоит из двух кусков и для функции /(М) существует криволинейный интеграл по АВУ то существуют интегралы причем 4. Если 0 на кривой АВ, то 5. Если функция интегрируема на кривой АВ, то функция || также интегрируема на А В, и при этом б. Формула среднего значения. Если функция / непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Мс такая, что где L - длина кривой АВ. 1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями причем точке А соответствует значение t = to, а точке В - значение. Будем предполагать, что функции) непрерывны на вместе со своими производными и выполнено неравенство Тогда дифференциал дуги кривой вычисляется по формуле В частности, если кривая АВ задана явным уравнением непрерывно дифференцируема на [а, Ь] и точке А соответствует значение х = а, а точке В - значение х = 6, то, принимая х за параметр, получаем 1.4. Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай, когда функция f(M) задана вдоль некоторой пространственной кривой АВ. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Тогда криволинейный интеграл взятый вдоль этой кривой, можно свести к определенному интегралу при помоши следующей формулы: Пример 2. Вычислитькриволинейный интеграл где L - контур треугольнике с вершинами в точка* (рис.3). По свойству аддитивности имеем Вычислим каждый из интегралов в отдельности. Так как на отрезке OA имеем: , то На отрезке АН имеем, откуда причем тогда Рис. Наконец, Следовательно, Замечание. При вычислении интегралов мы воспользовались свойством 1, согласно которому. Криволинейные интегралы 2-го рода Пусть А В - гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая на плоскости хОу и пусть - вектор-функция, определенная в некоторой области D, содержащей кривую АВ. Разобьем кривую АВ на части точками координаты которых обозначим соответственно через (рис. 4). На каждой из элементарныхдуг АкАк+\ возьмем произвольно точку и составим сумму Пусть Д/ - длина наибольшей из дуг Определение. Если при сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек rjk) на элементарных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-города от вектор-функции по кривой АВ и обозначается символом Так что по определению Теорема 2. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-города существует. Пусть - радиус-вектор точки М(х, у). Тогда и подынтегральное выражение в формуле (2) можно представить в виде скалярного произведения векторов F(M) и dr. Так что интеграл 2-го рода от вектор-функции по кривой АВ можно записать коротко так: 2.1. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями, где функции непрерывны вместе с производными на отрезке, причем изменению параметра t от t0 до t\ соответствует движение точки по кривой АВ отточки А к точке В. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода сводится к следующему определенному интегралу: Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 2-го рода также может быть сведено к вычислению определенного интеграла. О) Пример 1. Вычислить интеграл вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки 2) вдоль параболы, соединяющей те же тонки) Уравнение линии параметр, откуда Так что 2) Уравнение линии AB: Отсюда поэтому Рассмотренный пример помазывает, что величина криволинейного интеграла 2-го рода, вообще говоря, зависитот формы пути интегрирования. 2.2. Свойства криволинейного интеграл а 2-го рода 1. Линейность. Если существуют Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между то при любых действительных а и /5 существует и интеграл причем 2. Аддитеностъ. Если кривая АВ разбита на части АС и СБ и криволинейный интеграл существует, то существуют и нтегралы Последнее свойство соитвггггнусг физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода ках работы силового поля F вдоль некоторого путь: при изменении направления дешкения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный. 2.3. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода где ориентированная кривая АВ (А - начальная точка, В - конечная точка) задана векгорным уравнением (здесь I - длина кривой, отсчитываемая в том направлении, в котором ориентирована кривая АВ) (рис. 6). Тогда dr или где г = т(1) - единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М(1). Тогда Заметим, что последний интеграл в этой формуле - криволинейный интеграл 1-го рода. При изменении ориентации кривой АВ единичный вектор касательной г заменяется на противоположный вектор (-г), что влечет изменение знака его подынтегрального выражения и, значит, знака самого интеграла.

Кафедра «Высшая математика»

Криволинейные интегралы

Методические указания

Волгоград

УДК 517.373(075)

Рецензент:

старший преподаватель кафедры «Прикладная математика» Н.И. Кольцова

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Криволинейные интегралы: метод. указания / сост. М.И.Андреева,

О.Е. Григорьева; ВолгГТУ. – Волгоград, 2011. – 26 с.

Методические указания являются руководством к выполнению индивидуальных заданий по теме « Криволинейные интегралы и их приложения к теории поля».

В первой части методических указаний содержится необходимый теоретический материал для выполнения индивидуальных заданий.

Во второй части рассмотрены примеры выполнения всех типов заданий, включенных в индивидуальные задания по теме, что способствует лучшей организации самостоятельной работы студентов и успешному усвоению темы.

Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов.

© Волгоградский государственный

технический университет, 2011

1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА

Определение криволинейного интеграла 1 рода

Пусть È АВ – дуга плоской или пространственной кусочно-гладкой кривой L , f (P ) – заданная на этой дуге непрерывная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах È А i – 1 A i , длины которых Dl i (i = 1, 2, …, n

при n ® ¥ и max Dl i ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги È АВ точками A i , ни от выбора точек P i на частичных дугах È А i – 1 A i (i = 1, 2, …, n ). Этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f (P ) по кривой L и обозначается

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла при разных способах задания кривой интегрирования.

Если дуга È АВ плоской кривой задана параметрически уравнениями где x (t ) и y (t t , причем x (t 1) = x A , x (t 2) = x B , то

где - дифференциал длины дуги кривой.

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и x (t ), y (t ), z (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то

где - дифференциал длины дуги кривой.

в декартовых координатах

Если дуга ÈАВ плоской кривой L задана уравнением где y (x

и формула для вычисления криволинейного интеграла имеет вид:

При задании дуги ÈАВ плоской кривой L в виде x = x (y ), y Î [y 1 ; y 2 ],
где x (y ) – непрерывно дифференцируемая функция,

и криволинейный интеграл вычисляется по формуле

(1.4)

Задание кривой интегрирования полярным уравнением

Если плоская кривая L задана уравнением в полярной системе координат r = r (j), j Î , где r (j) – непрерывно дифференцируемая функция, то

и

(1.5)

Приложения криволинейного интеграла 1 рода

С помощью криволинейного интеграла 1 рода вычисляются: длина дуги кривой, площадь части цилиндрической поверхности, масса, статические моменты, моменты инерции и координаты центра тяжести материальной кривой с заданной линейной плотностью.

1. Длина l плоской или пространственной кривой L находится по формуле

2. Площадь части цилиндрической поверхности с параллельной оси OZ образующей и расположенной в плоскости XOY направляющей L , заключенной между плоскостью XOY и поверхностью, задаваемой уравнением z = f (x ; y ) (f (P ) ³ 0 при P Î L ), равна

(1.7)

3. Масса m материальной кривой L с линейной плотностью m(P ) определяется формулой

(1.8)

4. Статические моменты относительно осей Ox и Oy и координаты центра тяжести плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) соответственно равны:

(1.9)

5. Статические моменты относительно плоскостей Oxy , Oxz , Oyz и координаты центра тяжести пространственной материальной кривой с линейной плотностью m(x ; y ; z) определяются по формулам:

(1.11)

6. Для плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) моменты инерции относительно осей Ox , Oy и начала координат соответственно равны:

(1.13)

7. Моменты инерции пространственной материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ; z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

(1.14)

а моменты инерции относительно координатных осей равны:

(1.15)

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2 РОДА

Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть ÈАВ – дуга кусочно-гладкой ориентированной кривой L , = (a x (P ); a y (P ); a z (P )) – заданная на этой дуге непрерывная векторная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B – произвольное разбиение дуги АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах А i – 1 A i . Пусть – вектор с координатами Dx i , Dy i , Dz i (i = 1, 2, …, n ), и – скалярное произведение векторов и (i = 1, 2, …, n ). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм

при n ® ¥ и max ÷ ç ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги АВ точками A i , ни от выбора точек P i на частичных дугах ÈА i – 1 A i
(i = 1, 2, …, n ). Этот предел называется криволинейным интегралом 2 рода от функции (P ) по кривой L и обозначается

В случае, когда векторная функция задана на плоской кривой L , аналогично имеем:

При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода меняет знак.

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением

(2.2)

где – единичный вектор касательной к ориентированной кривой.

С помощью криволинейного интеграла 2 рода можно вычислять работу силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L:

(2.3)

Положительным направлением обхода замкнутой кривой С, ограничивающей односвязную область G , считается обход против часовой стрелки.

Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой С называется циркуляцией и обозначается

(2.4)

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое задание кривой интегрирования

Если ÈАВ ориентированной плоской кривой задана параметрически уравнениями , где х (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , причем то

(2.5)

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной ориентированной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то

(2.6)

Явное задание плоской кривой интегрирования

Если дуга ÈАВ L задана в декартовых координатах уравнением где y (x ) – непрерывно дифференцируемая функция, то

(2.7)

При задании дуги ÈАВ плоской ориентированной кривой L в виде
x = x (y ), y Î [y 1 ; y 2 ], где x (y ) – непрерывно дифференцируемая функция, справедлива формула

(2.8)

Пусть функции непрерывны вместе со своими производными

в плоской замкнутой области G , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой самонепересекающейся положительно ориентированной кривой С + . Тогда имеет место формула Грина:

Пусть G – поверхностно-односвязная область, и

= (a x (P ); a y (P ); a z (P ))

– заданное в этой области векторное поле. Поле (P ) называется потенциальным, если существует такая функция U (P ), что

(P ) = grad U (P ),

Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (P ) имеет вид:

rot (P ) = , где (2.10)

(2.11)

Если векторное поле является потенциальным, то криволинейный интеграл 2 рода не зависит от кривой интегрирования, а зависит только от координат начала и конца дуги М 0 М . Потенциал U (М ) векторного поля определяется с точностью до постоянного слагаемого и находится по формуле

(2.12)

где М 0 М – произвольная кривая, соединяющая фиксированную точку М 0 и переменную точку М . Для упрощения вычислений в качестве пути интегрирования может быть выбрана ломаная М 0 М 1 М 2 М со звеньями, параллельными координатным осям, например:

3. примеры выполнения заданий

Задание 1

Вычислить криволинейный интеграл I рода

где L – дуга кривой , 0 ≤ x ≤ 1.

Решение. По формуле (1.3) сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в случае гладкой плоской явно заданной кривой:

где y = y (x ), x 0 ≤ x ≤ x 1 – уравнение дуги L кривой интегрирования. В рассматриваемом примере Находим производную этой функции

и дифференциал длины дуги кривой L

,

то, подставляя в это выражение вместо y , получаем

Преобразуем криволинейный интеграл к определенному:

Вычисляем этот интеграл с помощью подстановки . Тогда
t 2 = 1 + x , x = t 2 – 1, dx = 2t dt ; при x = 0 t = 1; а x = 1 соответствует . После преобразований получаем

Задание 2

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода по дуге L кривой L : x = cos 3 t , y = sin 3 t , .

Решение. Так как L – дуга гладкой плоской кривой, заданной в параметрическом виде, то используем формулу (1.1) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному:

.

В рассматриваемом примере

Найдем дифференциал длины дуги

Найденные выражения подставляем в формулу (1.1) и вычисляем:

Задание 3

Найти массу дуги линии L с линейной плоскостью m.

Решение. Масса m дуги L с плотностью m(P ) вычисляется по формуле (1.8)

.

Это криволинейный интеграл 1 рода по параметрически заданной гладкой дуге кривой в пространстве, поэтому он вычисляется по формуле (1.2) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному интегралу:

Найдем производные

и дифференциал длины дуги

Подставляем эти выражения в формулу для массы:

Задание 4

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

по дуге L кривой 4x + y 2 = 4 от точки A (1; 0) до точки B (0; 2).

Решение. Плоская дуга L задана в неявном виде. Для вычисления интеграла удобнее выразить x через y :

и находить интеграл по формуле (2.8) преобразования криволинейного интеграла 2 рода в определенный интеграл по переменной y :

где a x (x ; y ) = xy – 1, a y (x ; y ) = xy 2 .

С учетом задания кривой

По формуле (2.8) получаем

Пример 2 . Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

где L – ломаная ABC , A (1; 2), B (3; 2), C (2; 1).

Решение . По свойству аддитивности криволинейного интеграла

Каждый из интегралов- слагаемых вычисляем по формуле (2.7)

где a x (x ; y ) = x 2 + y , a y (x ; y ) = –3xy .

Уравнение отрезка прямой AB : y = 2, y ¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Подставляя в формулу (2.7) эти выражения, получаем:

Для вычисления интеграла

составим уравнение прямой BC по формуле

где x B , y B , x C , y C – координаты точек B и С . Получаем

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y ¢ = 1.

Подставляем полученные выражения в формулу (2.7):

Задание 5

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по дуге L

0 ≤ t ≤ 1.

Решение . Так как кривая интегрирования задана параметрически уравнениями x = x (t ), y = y (t ), t Î [t 1 ; t 2 ], где x (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции t при t Î [t 1 ; t 2 ], то для вычисления криволинейного интеграла второго рода используем формулу (2.5) сведения криволинейного интеграла к определенному для плоской параметрически заданной кривой

В рассматриваемом примере a x (x ; y ) = y ; a y (x ; y ) = –2x .

C учетом задания кривой L получаем:

Подставляем найденные выражения в формулу (2.5) и вычисляем определенный интеграл:

Задание 6

Пример 1. C + где С : y 2 = 2x , y = x – 4.

Решение. Обозначение C + указывает, что обход контура осуществляется в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

Проверим, что для решения задачи можно использовать формулу Грина (2.9)

Так как функции a x (x ; y ) = 2y – x 2 ; a y (x ; y ) = 3x + y и их частные производные непрерывны в плоской замкнутой области G , ограниченной контуром C , тоформула Грина применима.

Для вычисления двойного интеграла изобразим область G , предварительно определив точки пересечения дуг кривых y 2 = 2x и
y = x – 4, составляющих контур C .

Точки пересечения найдем, решив систему уравнений:

Второе уравнение системы равносильно уравнению x 2 – 10x + 16 = 0, откуда x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Итак, точки пересечения кривых: A (2; –2), B (8; 4).

Так как область G – правильная в направлении оси Ox , то для сведения двойного интеграла к повторному спроектируем область G на ось OY и воспользуемся формулой

.

Так как a = –2, b = 4, x 2 (y ) = 4+y , то

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру где С – контур треугольника с вершинами A (0; 0), B (1; 2), C (3; 1).

Решение. Обозначение означает, что контур треугольника обходится по часовой стрелке. В случае, когда криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру , формула Грина принимает вид

Изобразим область G , ограниченную заданным контуром.

Функции и частные производные и непрерывны в области G , поэтому можно применить формулу Грина. Тогда

Область G не является правильной в направлении какой-либо из осей. Проведем отрезок прямой x = 1 и представим G в виде G = G 1 È G 2 , где G 1 и G 2 области, правильные в направлении оси Oy .

Тогда

Для сведения каждого из двойных интегралов по G 1 и G 2 к повторному будем использовать формулу

где [a ; b ] – проекция области D на ось Ox ,

y = y 1 (x ) – уравнение нижней ограничивающей кривой,

y = y 2 (x ) – уравнение верхней ограничивающей кривой.

Запишем уравнения границ области G 1 и найдем

AB : y = 2x , 0 ≤ x ≤ 1; AD : , 0 ≤ x ≤ 1.

Составим уравнение границы BC области G 2 , используя формулу

BC : где 1 ≤ x ≤ 3.

DC : 1 ≤ x ≤ 3.

Задание 7

Пример 1. Найти работу силы L : y = x 3 от точки M (0; 0) к точке N (1; 1).

Решение . Работу переменной силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L определяем по формуле (2.3) (как криволинейный интеграл второго рода от функции по кривой L ) .

Так как векторная функция задана уравнением и дуга плоской ориентированной кривой определена явно уравнением y = y (x ), x Î [x 1 ; x 2 ], где y (x ) непрерывно дифференцируемая функция, то по формуле (2.7)

В рассматриваемом примере y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N = 1. Поэтому

Пример 2 . Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 + y 2 = 4 от точки M (0; 2) к точке N (–2; 0).

Решение . Используя формулу (2.3), получаем

.

В рассматриваемом примере дуга кривой L (ÈMN ) – это четверть окружности, задаваемой каноническим уравнением x 2 + y 2 = 4.

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода удобнее перейти к параметрическому заданию окружности: x = R cost , y = R sint и воспользоваться формулой (2.5)

Так как x = 2cost , y = 2sint , , , получаем

Задание 8

Пример 1 . Вычислить модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г :

Решение. Для вычисления циркуляции векторного поля вдоль замкнутого контура Г воспользуемся формулой (2.4)

Так как задано пространственное векторное поле и пространственный замкнутый контур Г , то переходя от векторной формы записи криволинейного интеграла к координатной форме, получаем

Кривая Г задана как пересечение двух поверхностей: гиперболического параболоида z = x 2 – y 2 + 2 и цилиндра x 2 + y 2 = 1. Для вычисления криволинейного интеграла удобно перейти к параметрическим уравнениям кривой Г .

Уравнение цилиндрической поверхности можно записать в виде:
x = cos t , y = sin t , z = z . Выражение для z в параметрических уравнениях кривой получается подстановкой x = cos t , y = sin t в уравнение гиперболического параболоида z = 2 + cos 2 t – sin 2 t = 2 + cos 2t . Итак, Г : x = cos t ,
y = sin t , z = 2 + cos 2t , 0 ≤ t ≤ 2p.

Так как входящие в параметрические уравнения кривой Г функции
x (t ) = cos t , y (t ) = sin t , z (t ) = 2 + cos 2t являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра t при t Î , то криволинейный интеграл находим по формуле (2.6)

Похожие записи

Как открыли днк Кто впервые установил структуру днк

Московский государственный текстильный университет им

Практическое применение Явления полного отражения

Самое обсуждаемое

Формы глаголов в английском языке

Индустриальное общество Основные группы населения в индустриальном обществе

Крымская война: основные события Результаты и историческое значение войны