Какое отношение к авиации имеет закон Бернулли? Оказывается, самое прямое. С его помощью можно объяснить возникновение подъёмной силы крыла самолёта и других аэродинамических сил.
Закон Бернулли
Автор этого закона - швейцарский физик-универсал, механик и математик. Даниил Бернулли - сын известного швейцарского математика Иоганна Бернулли. В 1838 г. он опубликовал фундаментальный научный труд «Гидродинамика», в котором и вывел свой знаменитый закон.
Следует сказать, что в те времена аэродинамика как наука ещё не существовала. А закон Бернулли описывал зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Но в начале ХХ века начала зарождаться авиация. И вот тут закон Бернулли оказался очень кстати. Ведь если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. С его помощью смогли понять, как поднять в воздух летательный аппарат тяжелее воздуха. Это важнейший законом аэродинамики, так как он устанавливает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.
Закон Бернулли - это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости .
В аэродинамике воздух рассматривается как несжимаемая жидкость , то есть, такая среда, плотность которой не меняется с изменением давления. А стационарным считается поток, в котором частицы перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называют линиями тока. В таких потоках не образуются вихри.
Чтобы понять сущность закона Бернулли, познакомимся с уравнением неразрывности струи.
Уравнение неразрывности струи
Из него видно, что чем выше скорость течения жидкости (а в аэродинамике – скорость воздушного потока), тем меньше давление, и наоборот.
Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. Во время сильных порывов ветра скорость воздушного потока возрастает, а давление падает. В комнате давление воздуха выше. И языки пламени устремляются вверх в дымоход.
Закон Бернулли и авиация
С помощью этого закона очень просто объяснить, как возникает подъёмная сила для летательного аппарата тяжелее воздуха.
Во время полёта крыло самолёта как бы разрезает воздушный поток на две части. Одна часть обтекает верхнюю поверхность крыла, а другая нижнюю. Форма крыла такова, что верхний поток должен преодолеть больший путь для того, чтобы соединиться с нижним в одной точке. Значит, он двигается с большей скоростью. А раз скорость больше, то и давление над верхней поверхностью крыла меньше, чем под нижней. За счёт разности этих давлений и возникает подъёмная сила крыла.
Во время набора самолётом высоты возрастает разница давлений, а значит, увеличивается и подъёмная сила, что позволяет самолёту подниматься вверх.
Сразу сделаем уточнение, что вышеописанные законы действуют, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). Ведь мы рассматривали воздух как несжимаемую жидкость. Но оказывается, что при скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому. Сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя. И воздух в этих условиях, как любой газ, старается расшириться и занять больший объём. Появляются значительные перепады давления или ударные волны. А сам воздушный поток не сужается, а, наоборот, расширяется. Решением задач о движении воздушных потоков со скоростями, близкими или превышающими скорость звука, занимается газовая динамика , возникшая как продолжение аэродинамики.
Используя аэродинамические законы, теоретическая аэродинамика позволяет сделать расчёты аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. А правильность этих расчётов проверяют, испытывая построенную модель на специальных экспериментальных установках, которые называются аэродинамическими трубами . Эти установки позволяют измерить величину сил специальными приборами.
Кроме исследования сил, действующих на аэродинамические модели, с помощью аэродинамических измерений изучают распределение значений скорости, плотности и температуры воздуха, обтекающего модель.
При движении реальной жидкости, вследствие её вязкости, действуют гидравлические сопротивления, на преодоление которых затрачивается энергия. Эта энергия превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущей жидкостью.
Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости имеет вид
где
─ потери напора на участке длиной
вдоль оси струйки между двумя сечениями.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид:
(3.9)
где
─ коэффициенты Кориолиса, учитывающие
различие скоростей в разных точках
сечения потока реальной жидкости.
На
практике
:
для ламинарного режима течения жидкости
в круглых трубах
;
для турбулентного режима
.
С
помощью уравнения Бернулли решается
большинство задач практической
гидравлики. Для этого выбирают два
сечения по длине потока, таким образом,
чтобы для одного из них были известны
величины
,
а для другого сечения одна или величины
подлежали определению. При двух
неизвестных для второго сечения
используют уравнение постоянства
расхода жидкостиυ
1
ω
1
= υ
2
ω
2
.
Гидравлические сопротивления
Движущийся поток жидкости на своем пути преодолевает силы трения жидкости о стенки трубы или канала и различные местные сопротивления, вследствие чего возникают потери удельной энергии. Потери напора различают двух видов:
Потери по длине потока
;
Потери на преодоление местных сопротивлений
.
Полные потери напора равны сумме всех потерь
(3.10)
Потери напора по длине
При равномерном движении в трубах потери напора по длине, как при турбулентном, так и при ламинарном движении определяются для круглых труб по формуле Дарси
(3.11)
а для труб любой другой формы сечения по формуле
(3.12)
В некоторых случаях также используют формулу
(3.13)
Потери
давления на трение по длине
,
Па, определяются по формуле
(3.14)
где
─ длина участка трубы или канала, м;
─эквивалентный
диаметр, м;
─средняя
скорость течения, м/с;
─гидравлический
радиус трубы, м;
─коэффициент
гидравлического трения;
─коэффициент
Шези, связанный с коэффициентом
гидравлического трения зависимостями
;
В зависимости от режима движения применяются различные формулы для определения коэффициента гидравлического трения.
При ламинарном движении по трубам круглого сечения коэффициент гидравлического трения определяется по формуле
(3.15)
а для труб любой формы сечения
(3.16)
где А ─ коэффициент, численное значение которого зависит от формы поперечного сечения трубы.
Тогда формула для определения потерь напора по длине при ламинарном режиме принимает вид
(3.17)
Впервые
наиболее исчерпывающие работы по
определению
были даны И.И. Никурадзе, который на
основе опытных данных построил график
зависимости
от
для ряда значений
.
Опыты Никурадзе были проведены на трубах
с искусственно заданной шероховатостью,
полученной путем приклейки песчинок
определенного размера на внутренние
стенки трубопровода. Результаты этих
исследований представлены на рисунке
3.5, где построены зависимости
от
для ряда значений
.
Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости в соответствии с выражением (3.15).
При турбулентном режиме различают три области гидравлических сопротивлений, установленных в результате опытов, проведенных Никурадзе (см. рисунок 3.5)
Рисунок 3.5 ─ График Никурадзе
Первая
область ─ область малых
и
,
где коэффициент
не зависит от шероховатости, а определяется
лишь числом
(отмечена на рисунке 3.5 прямой II).
Это
область
гидравлически гладких
труб
.
Если число Рейнольдса лежит в диапазоне
коэффициент
определяется по полуэмпирической
формуле Блазиуса
.
(3.18)
Рассмотрим ламинарное движение идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости в изогнутой трубке разного диаметра. Мы уже знаем, что из уравнения непрерывности жидкости S⋅v = const. Какие ещё можно сделать выводы?
Рассмотрим трубку разного сечения:
Возьмём срез жидкости в трубке. Из уравнения непрерывности следует, что при уменьшении сечения трубы увеличивается скорость потока жидкости. Если скорость увеличивается, значит по второму закону Ньютона действует сила F = m⋅a. Эта сила возникает за счет разности давления между стенками сечения потока жидкости. Значит сзади давление больше, чем спереди сечения. Это явление впервые описал Даниил Бернулли.
Закон Бернулли
В тех участках течения жидкости, где скорость больше давление меньше и наоборот.
Как любое тело, жидкость при перемещении совершает работу, т.е. выделяет энергию или поглощает. Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку.
Рассмотрим, какую работу совершает жидкость:
- Работа давления жидкости (E P) . Давления жидкости выражается в том, что жидкость сзади давит на жидкость спереди.
- Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h) . При опускании жидкости эта работа отрицательная, при поднятии - положительная.
- Работа по приданию скорости жидкости (E v) . При сужении трубки работа положительная, при расширении - отрицательная. Ещё это называют - кинетическая энергия или динамическое давление.
Так как мы рассматриваем идеальную жидкость, то трение отсутствует, а значит нет работы силы трения. Но в реальной жидкости она присутствует.
По закону сохранения энергии:
E p + E h + E v = const
Давайте теперь определим, чем равняется каждая из этих работ.
Работа давления жидкости (E P)
Формула давления имеет вид: P = F/S, F = P⋅S. Работа силы создающая давление:
E P = P⋅S⋅ΔL = P⋅V
Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h)
Работа по перемещению жидкости на высоту h - это изменение потенциальной энергии которая равна:
E h = m⋅g⋅h = V⋅ρ⋅g⋅h
Работа по приданию скорости жидкости (E v)
Работа по приданию скорости жидкости - это кинетическая энергия, которая зависит от массы тела и его скорости и равна:
E k = m⋅v 2 /2 = V⋅ρ⋅v 2 /2
Получим формулу сохранения энергии жидкости:
P⋅V + V⋅ρ⋅g⋅h + V⋅ρ⋅v 2 /2 = const
Сократим каждое слагаемое на V. Получим уравнение:
Формула Бернулли
P + ρ⋅g⋅h + ρ⋅v 2 /2 = const
Разделим каждый член последнего уравнения ρ⋅g, получим
| h + | P | + | v 2 | = const | |
| ρ⋅g | 2g |
где h - геометрический напор, м;
P / ρ∙g - пьезометрический напор, м;
v 2 / 2g - скоростной напор, м.
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.
Сумма трех членов уравнения называется полным напором.
Или можно сказать по-другому - для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.
Дифференциальное уравнение Бернулли
- это уравнение вида:
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1)
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Разделим его на y n
.
При y ≠ 0
или n < 0
имеем:
(2)
.
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2)
и преобразуем:
;
.
Это - линейное , относительно z
,
дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0
,
следует рассмотреть случай y = 0
.
При n > 0
,
y = 0
также является решением уравнения (1)
и должно входить в ответ.
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1)
также можно решить методом Бернулли . Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v
,
где u
и v
- функции от x
.
Дифференцируем по x
:
y′ = u′ v + u v′
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
;
(3)
.
В качестве v
возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)
.
Уравнение (4)
- это уравнение с разделяющимися переменными . Решаем его и находим частное решение v = v(x)
.
Подставляем частное решение в (3)
. Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4)
, то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v
- уже известная функция от x
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv
.
Пример решения дифференциального уравнения Бернулли
Решить уравнение
Решение
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y - зависимой (то есть если y - это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x - зависимой, то легко увидеть, что это - уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x
является функцией от y
.
Подставим и умножим на :
;
;
(П.1)
.
Это - уравнение Бернулли с n = 2
.
Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1)
, только обозначением переменных (x
вместо y
). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v
,
где u
и v
- функции от y
.
Дифференцируем по y
:
.
Подставим в (П.1)
:
;
(П.2)
.
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y)
,
удовлетворяющую уравнению:
(П.3)
.
Разделяем переменные :
;
;
.
Положим C = 0
,
поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3)
.
;
.
Подставим в (П.2)
учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)
):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0
имеем:
;
(П.4)
;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».
Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 - 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.
Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
- плотность жидкости, - скорость потока, - высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, - давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, - ускорение свободного падения.Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.
В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли .
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).
Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли . В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.
Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: 
.
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : 
.
Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.
