Дробь представляет собой число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. В математике существует три вида дробей: обыкновенные, смешанные и десятичные.
Обыкновенные дроби
Обыкновенная дробь записывается как соотношение, в котором в числителе отражается, сколько взято частей от числа, а знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица. Если числитель меньше знаменателя, то перед нами правильная дробь.Например: ½, 3/5, 8/9.
Если числитель равен знаменателю или больше его, то мы имеем дело с неправильной дробью. Например: 5/5, 9/4, 5/2 При делении числителя может получиться конечное число. Например, 40/8 = 5. Следовательно, любое целое число может быть записано в виде обыкновенной неправильной дроби или ряда таких дробей. Рассмотрим записи одного и того же числа в виде ряда различных .
- Смешанные дроби
В общем виде смешанная дробь может быть представлена формулой:
Таким образом, смешанная дробь записывается как целое число и обыкновенная правильная дробь, а под такой записью понимают сумму целого и его дробной части.
- Десятичные дроби
Десятичная дробь – это особая разновидность дроби, у которой знаменатель может быть представлен как степень числа 10. Существуют бесконечные и конечные десятичные дроби. При записи этой разновидности дроби сначала указывается целая часть, затем через разделитель (точку или запятую) фиксируется дробная часть.
Запись дробной части всегда определяется ее размерностью. Десятичная запись выглядит следующим образом:
Правила перевода между различными видами дробей
- Перевод смешанной дроби в обыкновенную
Смешанную дробь можно перевести только в неправильную. Для перевода необходимо целую часть привести и тому же знаменателю, что и дробную. В общем виде это будет выглядеть следующим образом:
Рассмотрим использование этого правила на конкретных примерах:
- Перевод обыкновенной дроби в смешанную
Неправильную обыкновенную дробь можно превратить в смешанную путем простого деления, в результате которого находится целая часть и остаток (дробная часть).
Для примера переведем дробь 439/31 в смешанную:
- Перевод обыкновенной дроби
В некоторых случаях перевести дробь в десятичную достаточно просто. В этом случае применяется основное свойство дроби, числитель и знаменатель умножаются на одно и то же числу, для того, чтобы привести делитель к степени числа 10.
Например:
В некоторых случаях может понадобиться найти частное путем деления уголком или с помощью калькулятора. А некоторые дроби невозможно привести к конечной десятичной дроби. Например, дробь 1/3 при делении никогда не даст конечный результат.
Материалов по дробям и изучать последовательно. Ниже для вас подробная информация с примерами и пояснениями.
1. Смешанное число в обыкновенную дробь. Запишем в общем виде число:
Запоминаем простое правило – целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, то есть:
Примеры:
2. Наоборот, обыкновенную дробь в смешанное число. *Конечно, это возможно сделать только с неправильной дробью (когда числитель больше знаменателя).
При «небольших» числах никаких действий, в общем, и не нужно делать, результат «видно» сразу, например, дроби:
*Подробнее:
15:13 = 1 остаток 2
4:3 = 1 остаток 1
9:5 = 1 остаток 4
А вот если числа будут более, то без вычислений не обойтись. Здесь всё просто – делим уголком числитель на знаменатель до тех пор пока остаток не получится менее делителя. Схема деления:
Например:
*Числитель у нас – это делимое, знаменатель – это делитель.
Получаем целую часть (неполное частное) и остаток. Записываем – целое, затем дробь (в числителе остаток, а знаменатель оставляем тот же):
3. Десятичную переводим в обыкновенную.
Частично в первом пункте, где рассказывали про десятичные дроби мы уже коснулись этого. Как слышим так и записываем. Например — 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10,00015
Первые три дроби у нас без целой части. А четвёртая и пятая её имеют, переведём их в обыкновенные, это делать уже умеем:
*Мы видим, что дроби можно ещё и сократить, например 45/100 =9/20, 38/100=19/50 и другие, но мы здесь делать этого не будем. По сокращению вас ожидает отдельный пункт ниже, где подробно всё разберём.
4. Обыкновенную переводим в десятичную.
Тут не всё так просто. По каким-то дробям сразу видно и ясно, что с ней сделать, чтобы она стала десятичной, например:
Используем наше замечательное основное свойство дроби – умножаем числитель и знаменатель соответственно на 5, 25, 2, 5, 4, 2, получим:
Если имеется целая часть, то тоже ничего сложного:
Умножаем дробную часть соответственно на 2, 25, 2 и 5, получим:
А есть такие, по которым без опыта и не определить, что их можно перевести в десятичные, например:
На какие числа умножать числитель и знаменатель?
Тут опять на помощь приходит проверенный способ – деление уголком, способ универсальный, им для перевода обыкновенной дроби в десятичную можно пользоваться всегда:
Так вы сможете всегда определить переводится ли дробь в десятичную. Дело в том, что не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, например такие как 1/9, 3/7, 7/26 не переводятся. А что же тогда получается за дробь при делении 1 на 9, 3 на 7, 5 на 11? Отвечаю – бесконечная десятичная (говорили о них в пункте 1). Разделим:
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Говоря сухим математическим языком, дробь - это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.
Представление дробей
Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.
Избавляемся от запятой
Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:
Шаг 1 : Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.
Шаг 2 : После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Шаг 3 : Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.
Избавляемся от запятой еще проще
Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.
Шаг 1 : Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 - шесть. Это количество мы обозначим буквой n.
Шаг 2 : Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:
- для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
- для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.
По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень - достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.
Шаг 3 : Сокращаем нули и получаем итоговый результат:
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Дробь 11/8 - это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.
Преобразование на слух
Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.
Примеры использования дробей в повседневной жизни
На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.
Работа
Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.
0,4 = 4/10 = 2/5
Быт
К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % - это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:
0,12 = 12/100 = 3/25
Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.
Заключение
Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.
Бывает, что для удобства расчетов нужно перевести обыкновенную дробь в десятичную и наоборот. О том, как это делать, мы поговорим в данной статье. Разберем правила перевода обыкновенных дробей в десятичные и обратно, а также приведем примеры.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Мы будем рассматривать перевод обыкновенных дробей в десятичные, придерживаясь определенной последовательности. Во первых, рассмотрим, как в десятичные переводятся обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10: 10, 100, 1000 и т.д.Дроби с такими знаменателями, по сути, являются, более громоздкой записью десятичных дробей.
Далее мы рассмотрим, как переводить в десятичные дроби обыкновенные дроби с любым, не только кратным 10, знаменателем. Отметим, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются не только конечные десятичные, но и бесконечные периодические десятичные дроби.
Приступим!
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби
Первым делом, скажем, что некоторые дроби нуждаются в определенной подготовке перед обращением в десятичный вид. В чем она заключается? Перед цифрой, стоящей в числителе, необходимо дописать столько нулей, чтобы количество цифр числителя стало равно числу нулей в знаменателе. Например, для дроби 3100 число 0 необходимо один раз дописать слева от 3 в числителе. Дробь 610, согласно изложенному выше правилу, не нуждается в доработке.
Рассмотрим еще один пример, после чего сформулируем правило, которым особенно удобно пользоваться на первых порах, пока опыта в обращении дробей не так много. Так, дробь 1610000 после дописывания нулей в числителе будет иметь вид 001510000.
Как перевести обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную?
Правило перевода обыкновенных правильных дробей в десятичные
- Записываем 0 и ставим после него запятую.
- Записываем число из числителя, которое получилось после дописывания нулей.
Теперь перейдем к примерам.
Пример 1. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Переведем обыкновенную дробь 39 100 в десятичную.
Сначала смотрим на дробь и видим, что никаких подготовительных действий проводить не нужно - количество цифр в числителе совпадает с количеством нулей в знаменателе.
Следуя правилу, записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 39 .
Разберем решение еще одного примера по этой теме.
Пример 2. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Запишем дробь 105 10000000 в виде десятичной дроби.
Количество нулей в знаменателе равно 7 , а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля:
0000105 10000000
Теперь записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 0000105 .
Рассмотренные во всех примерах дроби - обыкновенные правильные дроби. Но как перевести неправильную обыкновенную дробь в десятичную? Сразу скажем, что необходимость в подготовке с дописыванием нулей для таких дробей отпадает. Сформулируем правило.
Правило перевода обыкновенных неправильных дробей в десятичные
- Записываем число, которое находится в числителе.
- Десятичной запятой отделяем столько цифр справа, сколько нулей есть в знаменателе исходной обыкновенной дроби.
Ниже приведем пример на использование этого правила.
Пример 3. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Переведем дробь 56888038009 100000 из обыкновенной неправильной в десятичную.
Сначала запишем число из числителя:
Теперь справа отделим десятичной запятой пять цифр (количество нулей в знаменателе - пять). Получим:
Следующий вопрос, который закономерно возникает: как перевести в десятичную дробь смешанное число, если знаменателем его дробной части является число 10, 100, 1000 и т.д. Для обращения в десятичную дробь такого числа можно воспользоваться следующим правилом.
Правило перевода смешанных чисел в десятичные дроби
- Выполняем подготовку дробной части числа, если это необходимо.
- Записываем целую часть исходного числа и ставим после него запятую.
- Записываем число из числителя дробной части вместе с дописанными нулями.
Обратимся к примеру.
Пример 4. Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Переведем смешанное число 23 17 10000 в десятичную дробь.
В дробной части имеем выражение 17 10000 . Выполним его подготовку и допишем слева от числителя еще два нуля. Получим: 0017 10000 .
Теперь записываем целую часть числа и ставим после него запятую: 23 , . .
После запятой записываем число из числителя вместе с нулями. Получаем результат:
23 17 10000 = 23 , 0017
Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические дроби
Конечно, можно переводить в десятичные дроби и обыкновенные дроби со знаменателем, не равным 10, 100, 1000 и т.д.
Часто дробь можно легко привести к новому знаменателю, а затем уже воспользоваться правилом, изложенным в первом пункте данной статьи. Например, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби 25 на 2, и мы получим дробь 410, которая легко приводится к десятичному виду 0,4.
Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда. Ниже рассмотрим, как поступать, если применить рассмотренный способ невозможно.
Принципиально новый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную сводится к делению числителя на знаменатель столбиком. Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.
Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби - справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.
Пример 5. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Переведем обыкновенную дробь 621 4 в десятичный вид.
Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621 = 621 , 00
Теперь разделим столбиком 621 , 00 на 4 . Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.
Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.
В итоге мы получаем десятичную дробь 155 , 25 , которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 621 4
621 4 = 155 , 25
Рассмотрим решение еще одного примера, чтобы закрепить материал.
Пример 6. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Обратим обыкновенную дробь 21 800 .
Для этого в столбик разделим дробь 21 , 000 на 800 . Деление целой части закончится на первом же шаге, поэтому сразу после него ставим в частном десятичную запятую и продолжаем деление, не обращая внимания на запятую в делимом до того момента, пока не получим остаток, равный нулю.
В результате мы получили: 21 800 = 0 , 02625 .
Но как быть, если при делении мы так и не получим в остатке 0. В таких случаях деление можно продолжать бесконечно долго. Однако, начиная с определенного шага, остатки будут периодически повторяться. Соответственно, будут повторяться и цифры в частном. Это значит, что обыкновенная дробь переводится в десятичную бесконечную периодическую дробь. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример 7. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Обратим обыкновенную дробь 19 44 в десятичную. Для этого выполним деление столбиком.
Мы видим, что при делении повторяются остатки 8 и 36 . При этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Это и есть период в десятичной дроби. При записи эти цифры берутся в скобки.
Таким образом, исходная обыкновенная дробь переведена в бесконечную периодическую десятичную дробь.
19 44 = 0 , 43 (18) .
Пусть перед нами несократимая обыкновенная дробь. К какому виду она приведется? Какие обыкновенные дроби переводятся в конечные десятичные, а какие - в бесконечные периодические?
Во первых, скажем, что если дробь удается привести к одному из знаменателей 10, 100, 1000.., то она будет иметь вид конечной десятичной дроби. Чтобы дробь приводилась к одному из таких знаменателей, ее знаменатель должен быть делителем хотя бы одного из чисел 10, 100, 1000 и т.д. Из правил разложения чисел на простые множители следует, что делитель чисел 10, 100, 1000 и т.д. должен, при разложении на простые множители, содержать лишь числа 2 и 5.
Подытожим сказанное:
- Обыкновенную дробь можно привести к виду конечной десятичной дроби, если ее знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5.
- Если кроме чисел 2 и 5 в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, дробь приводится к виду бесконечной периодической десятичной дроби.
Приведем пример.
Пример 8. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Какая из данных дробей 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводится в конечную десятичную дробь, а какая - только в периодическую. Дадим ответ на этот вопрос, не выполняя непосредственно перевода обыкновенной дроби в десятичную.
Дробь 47 20 , как легко заметить, умножением числителя и знаменателя на 5 приводится к новому знаменателю 100 .
47 20 = 235 100 . Отсюда делаем вывод, что данная дробь переводится в конечную десятичную дробь.
Разложение знаменателя дроби 7 12 на множители дает 12 = 2 · 2 · 3 . Так как простой множитель 3 отличен от 2 и от 5 , данная дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а будет иметь вид бесконечной периодической дроби.
Дробь 21 56 , во-первых, нужно сократить. После сокращения на 7 получим несократимую дробь 3 8 , разложение знаменателя которой на множители дает 8 = 2 · 2 · 2 . Следовательно, это конечная десятичная дробь.
В случае с дробью 31 17 разложение знаменателя на множители представляет собой само простое число 17 . Соответственно, эту дробь можно обратить в бесконечную периодическую десятичную дробь.
Обыкновенную дробь нельзя перевести в бесконечную и непериодическую десятичную дробь
Выше мы говорили только о конечных и бесконечных периодических дробях. Но может ли какая-либо обыкновенная дробь быть обращена в вид бесконечной непериодической дроби?
Отвечаем: нет!
Важно!
При переводе бесконечной дроби в десятичную получается либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.
Остаток от деления всегда меньше делителя. Другими словами, согласно теореме о делимости, если мы делим какое-то натуральное число на число q, то остаток деления в любом случае не может быть больше, чем q-1. После окончания деления возможна одна из следующих ситуаций:
- Мы получаем в остатке 0, и на этом деление заканчивается.
- Мы получаем остаток, который при последующем делении повторяется, в результате мы имеем бесконечную периодическую дробь.
Иных вариантов при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может быть. Скажем также, что длина периода (количество цифр) в бесконечной периодической дроби всегда меньше, чем число цифр в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби.
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби
- В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
- В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
- При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.
Рассмотрим применение данного правила на примерах.
Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные
Представим число 3 , 025 в виде обыкновенной дроби.
- В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025 .
- В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля - именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 3025 1000 .
- Полученную дробь 3025 1000 можно сократить на 25 , в результате чего мы получим: 3025 1000 = 121 40 .
Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные
Переведем дробь 0 , 0017 из десятичных в обыкновенные.
- В числителе запишем дробь 0 , 0017 , отбросив запятую и нули слева. Получится 17 .
- В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 17 10000 . Данная дробь несократима.
Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?
Сформулируем еще одно правило.
Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.
- Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
- В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
- В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.
Обратимся к примеру
Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число
Представим дробь 155 , 06005 в виде смешанного числа.
- Записываем число 155 , как целую часть.
- В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
- В знаменателе записываем единицу и пять нулей
Поучаем смешанное число: 155 6005 100000
Дробную часть можно сократить на 5 . Сокращаем, и получаем финальный результат:
155 , 06005 = 155 1201 20000
Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби
Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.
Самый простой случай - период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.
Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Обратим периодическую дробь 3 , 75 (0) .
Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3 , 75 .
Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:
3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .
Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:
0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .
Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b , а знаменатель q таков, что 0 < q < 1 , то сумма равна b 1 - q .
Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.
Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть у нас есть периодическая дробь 0 , (8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .
Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0 , 8 и знаменателем 0 , 1 .
Применим формулу:
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9
Это и есть искомая обыкновенная дробь.
Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.
Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Обратим дробь 0 , 43 (18) .
Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:
0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)
Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:
0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .
Полученное прибавляем к конечной дроби 0 , 43 = 43 100 и получаем результат:
0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900
После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:
0 , 43 (18) = 19 44
В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Очень часто условие задачи требует от нас записи ответа в десятичной дроби, ведь она воспринимается намного легче, чем обыкновенная. Преобразовать обыкновенную дробь в десятичную очень просто.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную
Для того чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель. a/b = a ÷ b
Пример 1: Переведите 1/10 в десятичную дробь.
Пользуясь правилом выше, делим 1 на 10:
1 ÷ 10 = 0,1
Пример 2: Переведите 2/16 в десятичную дробь.
Первым делом сокращаем 2 и 16, получаем 1/8.
Делим 1 на 8: 1 ÷ 8 = 0.125
Как перевести обыкновенную дробь в бесконечную периодическую дробь
Встречаются случаи, когда разделив числитель на знаменатель получается бесконечная десятичная дробь.
Например, 1/15 = 1 ÷ 15 = 0.1333333333. Что делать в таких случаях?
Пример: Переведите 5/18 в десятичную дробь.
5/18 = 5 ÷ 18 = 0.277777777 = 0.27(7). Получили бесконечное количество семерок. Скобки означают, что цифра, внесенная в них, бесконечно повторяется.
В таких ситуация следует округлить получившееся число. Округляем 0.277777777 до сотых и приблизительно получаем 0.28
Так как часто деление числителя на знаменатель занимает много времени, можно воспользоваться калькулятором.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн
Если переводить дроби не охота, можно воспользоваться онлайн сервисом . Просто впишите значения числителя и знаменателя, а мини-программа выдаст ответ. Программа также позволяет проделывать обратное – переводить десятичную дробь в обыкновенную.
