Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных : первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную? Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите!
Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.
Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называютсянезависимыми переменными или аргументами , переменная называется зависимой переменной или функцией . Например: – функция трёх переменных
А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность
. Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:
– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?
– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
– Возможно ли путешествие в прошлое?
– Возможно ли путешествие в будущее?
– Существуют ли инопланетяне?
На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю
Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-)
Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры!
Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных . Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!
Пример 1
Решение: Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:
Или – частная производная по «икс»;
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».
В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс».
Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменныеи считаются константами (постоянными числами). А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:
Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.
(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».
(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.
Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменныеи считаются константами:
(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.
(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.
И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменныеи считаются константами:
Общее правило очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную по какой-либо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами.
При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь их пропущу)
Пример 2
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.
Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?
Верный ответ: Наукой это не запрещено . Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.
Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =)
Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных . Навёрстываем упущенное:
Пример 3
Решение: вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.
Разберём пример последовательно, чётко и понятно.
Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
или ещё можно записать так:
Это степенная
функция со сложным основанием (синусом). По :
Теперь вспоминаем, что , таким образом:
На чистовике, конечно, решение следует оформить так:
Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:
Это показательная
функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции
:
Теперь вспоминаем нашу замену:
Таким образом:
На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:
И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы):
При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.
Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:
В данном случае:
И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных.
Забавный пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка
Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите . Такие примеры быстро не решаю даже я.
Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
Верный ответ: Да . Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно украденная Эйнштейном у Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у Эйнштейна Нобелевская премия? В научном мире был страшный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу плагиатора примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Так то оно. Бренд троечника Эйнштейна – чистая раскрутка и пиар.
К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.
Разберём еще пару типовых задач:
Пример 5
Найти частные производные первого порядка в точке
Решение:
Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .
Решаем:
(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): .
(2) Используем свойства линейности.
(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы.
По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную:
Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:
Как видите, шаблон решения практически такой же.
Вычислим значение найденной частной производной в точке :
И, наконец, производная по «зет»:
Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.
Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.
Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое?
Верный ответ: Нет . Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину. .
Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое:
(1) Выносим константы за знак производной.
(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения.
(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.
Пример 9
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.
Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом:
Возможно ли путешествие в будущее?
Верный ответ: Наукой это не запрещено . Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой.
Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.
Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 ) - внутренняя точка области D .
Если в D присутствует такая окрестность UM 0 точки M 0 , что для всех точек
то точка M 0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M 0 ) - локальным максимумом.
А если же для всех точек
то точка M 0 называется точкой локального минимума функции z(x,y) . А само значение z(M 0 ) - локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y) . На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M 0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C 0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).
Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В ), которые находятся выше C 0 , но эти точки (например, В ) не являются "соседними" с точкой C 0 .
В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:
Аналогично определяется и глобальный минимум:
Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.
Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D . Точка M 0 (x 0 ;y 0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z" x и z" y , то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C 0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу .
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определение 1.12.
Если в точке M 0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y) .
Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D , которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M 0 (x 0 ,y 0 )D . Причем M 0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
Пример 1.13.
Исследовать на экстремум:
Решение
1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):
то есть найдены четыре стационарные точки. 2.
по
теореме 1.4 в точке –
минимум.
Причём
по теореме 1.4 в точке
Максимум. Причём
Определение. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
Для практических примеров справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.
Примеры.
а) Найти частные производные второго порядка функции
Решение.
1.Считаем переменную y
2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:
3.Считаем переменную х константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:
4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:
5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».
5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».
б) Найти частные производные первого порядка функции Проверить, что Записать полный дифференциал первого порядка dz.
Решение.
1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:
2. Найдем смешанные производные второго порядка:
3. Составим полный дифференциал первого порядка:
в)
Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению 
Решение.
1.Найдем частную производную заданной функции по «икс»:
2. Умножим полученное выражение х 2 :
3. От полученной функции найдем частную производную по «икс»:
4. Найдем частную производную заданной функции по «игрек»:
5. Вычислим вторую производную по «игрек»:
6. Умножим полученную функцию на у 2 :
7. Вычтем из результата, полученного в п.5, результат п.6:
Что и требовалось показать.
Похожая информация:
- V3: {{101}} 04.07.14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (общее решение)
Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных.
Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или, в другой записи:
Частных производных второго порядка девять штук.
Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:
Или – вторая производная по «икс»;
Или – вторая производная по «игрек»;
Или – вторая производная по «зет».
Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть:
Или – смешанная производная «по икс игрек»;
Или – смешанная производная «по игрек икс»;
Или – смешанная производная «по икс зет»;
Или – смешанная производная «по зет икс»;
Или – смешанная производная «по игрек зет»;
Или – смешанная производная «по зет игрек».
Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка:
Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.
На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух:
– «у два штриха дважды по игрек»;
– «дэ два у по дэ зет квадрат»;
– «у два штриха по икс по зет»;
– «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».
Пример 10
Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных:
.
Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:
Берём найденную производную
и дифференцируем её по «игрек»:
Берём найденную производную
и дифференцируем её по «икс»:
Равенство выполнено. Хорошо.
Разбираемся со второй парой смешанных производных.
Берём найденную производную
и дифференцируем её по «зет»:
Берём найденную производную
и дифференцируем её по «икс»:
Равенство выполнено. Хорошо.
Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных:
Равенство выполнено. Хорошо.
После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка.
Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание:
Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше потратить время и найти все производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике.
Пример 11
Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных
.
Это пример для самостоятельного решения.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение: Найдем частные производные первого порядка.
Составим полный дифференциал первого порядка:
Пример 6: Решение: M (1, -1, 0):
Пример 7: Решение: Вычислим частные производные первого порядка в точке M (1, 1, 1):
Пример 9: Решение:
Пример 11: Решение: Найдем частные производные первого порядка:
Найдем частные производные второго порядка:
.
Интегралы
8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
Начнем изучение темы «Неопределенный интеграл» , а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. Как обычно, мы ограничимся минимумом теории, которая есть в многочисленных учебниках, наша задача – научиться решать интегралы.
Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того, чтобы справиться с интегральным исчислением, Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков, а лучше – сотня самостоятельно найденных производных. По крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций.
Казалось бы, причем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия , как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка и какого-никакого опыта нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.
В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных и Таблица интегралов .
В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится.
Между прочим, нам довольно часто приходилось слышать от студентов (не гуманитарных специальностей) мнение вроде: «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам.
Коль скоро способов решения существует много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на наш взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья).
Потом нужно детально проработать урок . ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям , поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций , интегралов от дробей , интегралов от дробно-рациональных функций , интегралов от иррациональных функций (корней) , но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.
Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:
Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:
– значок интеграла.
– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).
– значок дифференциала. Что это такое, мы рассмотрим совсем скоро. Главное, что при записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.
– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.
– первообразная функция.
– . Не нужно сильно загружаться терминами, здесь самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .
Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество первообразных функций от данной подынтегральной функции
Еще раз посмотрим на запись:
Посмотрим в таблицу интегралов.
Что происходит? Левые части у нас превращаются в другие функции: .
Упростим наше определение:
Решить неопределенный интеграл– это значит ПРЕВРАТИТЬ его в неопределенную (с точностью до константы) функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Возьмем, например, табличный интеграл 
. Что произошло? Символическая запись превратилась в множество первообразных функций .
Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, или первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.
Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найденаправильно, справедливо следующее:
Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.
Вернемся к тому же табличному интегралу .
Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:
– это исходная подынтегральная функция.
Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.
Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:
Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить. Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.
Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:
– константу C
можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
– интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.
Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности интеграла.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Выполнить проверку.
Решение: Удобнее преобразовать его, как.
(1) Применяем правило . На забываем записать значок дифференциала dx
под каждым интегралом. Почему под каждым? dx
– это полноценный множитель.
Если расписывать детально, то первый шаг следует записать так:
.
(2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом tg
5 – это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.
Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх.
Например, – это готовый табличный интеграл, который уже посчитали до Вас, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – это тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!
(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: 
, и
для степенной функции - 
.
Следует отметить, что табличный интеграл – это частный случай формулы для степенной функции: 
.
Константу C достаточно приплюсовать один раз в конце выражения
(а не ставить их после каждого интеграла ).
(4)Записываем полученный результат в более компактном виде, когда все степени вида
снова представляем в виде корней, а степени с отрицательным показателем сбрасываем обратно в знаменатель.
Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:
Получена исходная подынтегральная функция , т. е. интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.
Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, когда от ответа берется не производная, а дифференциал:
.
В итоге получаем не подынтегральную функцию, а подынтегральное выражение.
Не стоит пугаться понятия дифференциал.
Дифференциал – это производная, умноженная на dx .
Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок d убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель dx :
Получено исходное подынтегральное выражение , то есть интеграл найден правильно.
Как видите, дифференциал сводится к нахождению производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала dx до конца проверки. Хотя он корректнее, или «солиднее», что ли.
На самом деле можно было умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.
Дифференциал раскрывается следующим образом:
1) значок d убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель dx .
Например:
Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.
Пример 2
.
Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку , тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике являются подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл:
. Выполнить проверку.
Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас под интегралом произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет
хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного
в виде: 
или 
.
Поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму? Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно.
Сначала приведём полное решение, комментарии будут ниже.
(1) Используем старую добрую формулу квадрата суммы для любых действительных чисел , избавляясь от степени над общей скобкой. за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: .
Пример 4
Найти неопределенный интеграл
Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл
. Выполнить проверку.
В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: «А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?».
Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Действия с дробными степенями мы не комментируем, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции.
Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как
и ни в какую не получается правильный ответ ,
Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.
В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье: Интегрирование некоторых дробей . Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком: Метод замены в неопределенном интеграле . Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения
Пример 6: Решение:
Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений , где объяснено в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобраны базовые примеры для начинающих.
Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:
– Подведение функции под знак дифференциала.
– Собственно замена переменной.
По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая.
Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые мы будем называть вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Так, например, функция двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:
Функция трех переменных имеет девять частных производных второго порядка:
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной порядка той же функции.
Например, частная производная третьего порядка функции есть частная производная первого порядка по у от частной производной второго порядка
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.
Например, частные производные
являются смешанными частными производными функции двух переменных .
Пример. Найти смешанные частные производные второго порядка функции
Решение. Находим частные производные первого порядка
Затем находим смешанные частные производные второго порядка
Мы видим, что смешанные частные производные и отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т. е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.
